特性類

特性類 (Characteristic class)とは、位相空間 X の上のベクトル束やより一般に主束に対してさだまる X のコホモロジー類である。特性類は、主束の切断がどの程度存在するによって定まるもので、局所的には自明である主束の構造が大域的にどれほど非自明であるかをはかる位相不変量である。特性類は、代数多様体上のベクトル束に対しても定義され、代数トポロジー、微分幾何学や代数幾何学における統一した幾何学的な考え方の一つである。

1935年の多様体上のベクトル場についてのスティーフェル(Eduard Stiefel)とハスラー・ホイットニー(Hassler Whitney)の仕事より、特性類の考え方が発生した。

定義

G を位相群として、位相空間 X に対し、主 G-バンドルの同型類全体の集合を b_G(X) と書くこととする。この b_G は、位相空間と連続函数のカテゴリ Top から集合と函数のカテゴリ Set への反変函手であり、写像 f は引き戻し(pullback)作用素 f* へ写る。

主 G-バンドルの 特性類 c とは、b_G からコホモロジー函手 H* への自然変換である。

つまり特性類とは、位相空間 X にたいし定まる写像 c(X) : b_G(X) → H(X) の族であって、連続写像 f : Y → X と X 上主束 P にたいし c(f*P) = f*c(P) をみたすものである。ここで、f*P は P の Y への引き戻し、f*c(P) はコホモロジーに誘導された写像による c(P) の像である。

特性数

特性類からある整数を取り出すことができ、これを 特性数(characteristic numbers)という。種々の特性類に応じて

• スティーフェル・ホイットニー数
• チャーン数
• ポントリャーギン数
• オイラー数

が定まる。

向き付け可能 n-次元多様体 M にたいしその基本類 $[M]\in H_{n}(M)$ を考える。特性類 $c_{1},\dots ,c_{k}$ を持つ G-バンドルにたいし、基本類と次数 n の特性類のペアリング（交叉積）を考えることができる。特性数とは、全次数がちょうど n となるような特性類と基本類の（交叉）積のことを言う。次数の和が n となるような特性類の組み合わせの数、つまり、次数の和が n となる単項式の数だけ異なる特性数があり、この数は n の ${\mbox{deg}}\,c_{i}$ への分割数に等しい。

形式的な定義としては、$\sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n$ であるような $i_{1},\dots ,i_{l}$ が与えられたとき、対応する特性数は、

$c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{m}}([M])$

である。

これらは、それぞれの特性類の積として記号化されていて、例えば $c_{1}^{2}$ であったり、別な例でポントリャーギン数は $p_{1}^{2}$ に対応する $P_{1,1}$ あるいは、オイラー標数を $\chi$ と書いたりする。

基本類とのペアリングは、ド・ラームコホモロジーでいえば、特性類を定める微分形式を多様体上で積分することに相当する。

また、向き付けできない多様体に対しても、$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ での向き付けを与えることで、$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ に値を持つ特性数を得ることができる。この例がスティーフェル・ホイットニー数である。

特性数は、向き付け、ないし向き付けなしボルディズム問題(bordism question)を解決する。つまり、2つの多様体が（向き付けこみ、向き付けなしのいずれかで）コボルダントであることと、それらの特性数が等しいこととは同値である。

動機

特性類は、反変性を持ち、本質的にコホモロジー論的な現象である。ベクトル束の切断は空間上の函数の一種で、変更を必要とする切断の存在から反変性を導く。ホモロジー論やホモトピー論は空間への写像を基礎とする共変な理論であり、反変な理論であるコホモロジー論はその後に発見された。障害の理論(obstruction theory)の一部として特性類の理論が生まれた1930年代において、ホモロジー論の「双対」な理論を構築しようとする大きな理由として特性類の理論がある。曲率不変量に対する特性類のアプローチは、一般化されたガウス・ボネの定理を証明するための理論を作ることが目的であった。

特性類の基礎が確立した1950年ごろ、当時知られていた基本的な特性類（スティーフェル・ホイットニー類やチャーン類やポントリャーギン類）は、古典線型群や極大トーラス(maximal torus)の構造を反映していることが明らかとなった。さらには、グラスマン多様体(Grassmannian)のシューベルトの計算(Schubert calculus)や、代数幾何学のイタリア学派(Italian school of algebraic geometry)の業績の中にすでにチャーン類により記述されるべきものが存在することがわかった。

このような経緯で、特性類の基本的な構造は次のように認識された。空間 X とその上のベクトル束が与えられると、適切な線型群 G に対して、ホモトピーカテゴリ(homotopy category)の中で、X から分類空間 BG への写像が存在する。コホモロジー H*(BG) が計算することで、反変性により同じ次数の H*(X) の中にバンドルの特定類が定義される。ホモトピー論に対し、適切な情報は G の直交群(orthogonal group)やユニタリ群のようなコンパクトな部分群によりもたらされる。例えば、チャーン類は偶数次元の次数付きの成分を持った一つの類である。

幾何学においてさらなる構造を理論に組み込むこと有益である。1955年以降、K-理論やコボルディズム論といった新たなコホモロジー理論に対しても、特性類の定義において文字 H を適切に変更するだけでそれらの理論における特性類を定義できる。

特性類は、後日、多様体の葉層構造(foliation)の中でも発見された。（葉層に対してはある特異点を許容するように意味を変更すると）特性類はホモトピー論の中に分類空間の理論を持っている。

さらに20世紀後半における数学と物理学の再接近の結果として、ドナルドソンとコチックにより新しい特性類がインスタントン(instanton)の理論の中で発見された。またチャーン(S. S. Chern)の観点と業績も重要であると認識された。チャーン・サイモンズ形式やチャーン・サイモンズ理論を参照のこと。

安定性

安定ホモトピー論(stable homotopy theory)の言葉では、チャーン類とスティーフェル・ホイットニー類とポントリャーギン類は 安定 であり、一方、オイラー類は 不安定 である。

安定類とは自明バンドルとの直和を取っても特性類が変化しない、すなわち $c(V\oplus 1)=c(V)$ がなりたつことをいう。これを言い換えると、特性類に対応する分類空間 $BG(n)$ のコホモロジー類が包含写像 $\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}$ から定まる $BG(n)\to BG(n+1)$ により$BG(n+1)$ のコホモロジー類の引き戻したものになるということ。これは$BG$ の安定類からの引き戻しであるとも言える。

オイラー類は安定類ではない。k-次元バンドルのオイラー類は、H^k(X) の元であり、自明バンドルとの直和をとったバンドルのオイラー類は H^k+1(X) の元なので、これを引き戻しても一致しない。

参照項目

• チャーン類
• セグレ類(Segre class)
• スティーフェル・ホイットニー類
• ポントリャーギン類
• オイラー類
• オイラー標数

参考文献

• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

  この書籍のappendix "Geometry of Characteristic Classes" には、特性類の考え方の発展について非常に整理された深い入門が記載されている。

• 森田茂之, 特性類と幾何学. 現代数学の展開, 岩波書店 ISBN 978-4-00-006292-3