ゲルファント=ナイマルクの定理

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作用素環論において、ゲルファント=ナイマルクの定理(-のていり、: Gelfand–Naimark theorem)とはC*-環の基本構造定理。可換なC*-環がある(局所)コンパクトハウスドルフ空間上の連続な複素数値関数のなす関数環等距離*-同型となることを主張する。1943年にロシアの数学者イズライル・ゲルファントマルク・ナイマルク英語版によって、 導かれた[1][2]。C*-環の構造を分類する基本定理であるともに、位相群上の抽象調和解析正規作用素スペクトル理論に応用される。圏論的な観点では、局所コンパクトハウスドルフ空間のなすと可換なC*-環のなす圏の圏同値を意味しており[3]アレクサンドル・グロタンディークによるスキーム理論の形成にも影響を与えた。なお、可換とは限らない一般のC*-環については、あるヒルベルト空間上の有界作用素がなすC*-環と等距離*-同型となるが、この定理もゲルファント=ナイマルクの定理と呼ばれる。可換及び非可換なC*-環における構造を示した二つのゲルファント=ナイマルクの定理は、アラン・コンヌによる非可換幾何の創設の動機付けの一つともなっている。

導入[編集]

C*-環有界作用素の有する性質を抽象化した複素数体上の多元環であり、積、和、複素数倍の演算(, )に加えて、対合と呼ばれる随伴作用に対応する作用を持つ。また、にはノルムが付随し、ノルムから定まる一様位相について完備なバナッハ空間である。において、ノルムは不等式を満たすとともに、C*-性と呼ばれる条件を満たす。

可換なC*-環の例としては、コンパクト・ハウスドルフ空間上の連続な複素数値関数のなす集合が挙げられる。に積をで、対合をで定義し、ノルムをスープ・ノルムとする。このとき、は単位元として定数関数を持つ可換な単位的なC*-環となる。

また、非可換なC*-環の例としては、ヒルベルト空間上の有界作用素のなす代数が挙げられる。ここで、ノルムは作用素ノルムで与えられ、対合は内積に対し、を満たす随伴作用素により定義される。

二つのゲルファント=ナイマルクの定理は、抽象的に定義されたC*-環の構造がこれらの例に分類できることを述べている。

可換なC*-環のゲルファント=ナイマルクの定理[編集]

を乗法における単位元を持つ可換なC*-環とする。このとき、はあるコンパクト・ハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす関数環と等距離*-同型である。が単位元を持たない場合には、はある局所コンパクト・ハウスドルフ空間上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数環上と等距離*-同型となる。

定理の証明の本質的部分は、可換な単位的C*-環上の指標全体がなす空間がコンパクト・ハウスドルフ空間であり、からへのゲルファント変換と呼ばれる写像が等距離*-同型を与えることによる。ここで指標とは、から複素数体への恒等的にゼロではない線形汎関数で、準同型性を満たすものである。

もう一つのゲルファント=ナイマルクの定理[編集]

可換とは限らない任意のC*-代数はあるヒルベルト空間上の有界作用素のなす具体的なC*-代数と等距離*-同型となる。この定理もゲルファント=ナイマルクの定理と呼ばれ、可換なC*-代数の場合と同じ1943年の論文の中でゲルファントとナイマルクによって示された。

この結果は、GNS表現と呼ばれるの特別な表現、すなわち、からヒルベルト空間のへの*-準同型の存在に基づき、導かれる。GNS表現では、状態と呼ばれるから複素数体への規格化された正値線形汎関数により、あるヒルベルト空間への表現を導入することができる。を状態全体からなる集合としたときに、GNS表現の族から直和表現による普遍表現

を構成すると、これはを満たす忠実な表現であり、と等距離*-同型となる。

脚注[編集]

  1. ^ I. M. Gelfand and M. A. Naimark, "On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space," Mat. Sbornik N. S. 12 (2) pp. 197–217 (1943)
  2. ^ Robert S. Doran and Josef Wichmann, "The Gelfand-Naimark theorems for C* -algebras," Enseignement Math. 23 pp. 153–180 (1977) doi:10.5169/seals-48924
  3. ^ Joan W. Negrepontis, "Duality in analysis from the point of view of triples," J. Algebra 19 pp. 228–253 (1971) doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0

関連項目の内容[編集]