ガウス=マルコフの定理

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ガウス=マルコフの定理(ガウス=マルコフのていり)とは、あるパラメタを観測値の線形結合で推定するとき、残差を最小にするような最小二乗法で求めた推定値が、不偏で最小の分散を持つことを保証する定理である。カール・フリードリヒ・ガウスアンドレイ・マルコフによって示された。

パラメタ推定[編集]

いま、n 組の観測値  (x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots (x_n, y_n) を説明するモデルとして、

 y_i = \beta x_i + \epsilon_i

という形を期待する。推定したいパラメタは β で、未知である。誤差 εi も未知であるが、以下のような統計的性質は分かっているとする。

  1. E(ε) = 0 (不偏)
  2. E(ε εT) = σ 2I (系列無相関で、分散均一)
  3. E(xεT) = 0 (説明変数と無相関)

ここに  \epsilon = (\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots \epsilon_n)^Tx = (x_1, x_2, \ldots x_n)^T で、E() は平均を取る操作、 I は単位行列、上付き添字 T転置行列を表す。上述のように誤差は未知であるが、パラメタ β の推定値 \hat{\beta} が決まれば、残差の平方和  \Sigma_i (\hat{\beta}x_i - y_i)^2 が計算できる。これを最小にするように \hat{\beta} を定めるのが最小二乗法である。このようにして求められた推定値は、不偏( E(\hat{\beta}) = \beta )で他のいかなる β の線形推定値よりも小さな分散  E((\hat{\beta}-\beta)^2) を持つ。誤差が正規分布している必要はなく、観測が独立でなくても誤差が無相関であればよい。

証明[編集]

上と同じ記号を用いると、最小二乗推定量

 \hat{\beta} = (x^T x)^{-1} x^T y

である。これは、

 \hat{\beta} = (x^T x)^{-1} x^T y
= (x^T x)^{-1} x^T (x \beta + \epsilon)
= \beta + (x^T x)^{-1} x^T \epsilon

という変形が可能なことに注意する。 両辺の平均を取ると、 誤差の不偏性の仮定より最右辺第二項が消えて、\hat{\beta} の不偏性が示される。また右辺の β を左辺に移項して、平均を取ることで、

 E((\hat{\beta}-\beta)^2) = \sigma^2 (x^T x)^{-1}

である。ここで別な β の推定値 b = ((x^T x)^{-1} x^T + D)y を考える。Dx とは無相関 E(DX) = 0 であることに注意すると、

 E((b - \beta)^2) = \sigma^2 (x^T x)^{-1} + \sigma^2 D^T D

となる。第二項は負でないから \hat{\beta} が最小分散を持つことが示された。

最適内挿法[編集]

地球科学において、不規則な観測点 ri で得られたある物理量 xi の観測値 yi をグリッド上に内挿する技法も、ガウス=マルコフの定理と呼ばれることがある。グリッド上の物理量の値を zj で、表すと、その推定値として

 \hat{z}_j = \Sigma_i B_{ji} y_i

という観測値の線型結合を用いることにする。このような行列 B の中で最良のものは、誤差の共分散  E((z - \hat{z})(z - \hat{z})^T) の対角成分を最小とするものである。式変形を続けると、

 E((z-\hat{z})(z-\hat{z})^T) = BE(yy^T)B^T-E(zy^T)B^T-BE(yz^T)+E(zz^T)
= (B-E(zy^T)E(yy^T)^{-1})E(yy^T)(B-E(zy^T)E(yy^T)^{-1})^T-E(zy^T)E(yy^T)^{-1}E(zy^T)^T+E(zz^T)

となり、B=E(zyT)E(yyT)-1 と取ると、共分散行列の対角成分が最小になることが示される。

観測値 y は物理量 x と、誤差 n を含んだ関係 y = Fx + n と仮定することが多い。さらに観測値と誤差は無相関であることを利用すると、 E(yyT) = FE(xxT)FT+ E(nnT) や、 E(zyT) = E(xxT)FT となることが示され、これが残差最小になるように求めた x の最小二乗解と一致する。この場合、E(xxT)E(nnT) は既知である必要がある。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

外部リンク[編集]