限界 (音楽)
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音楽理論では、限界は、一片の音楽や音楽のジャンルの中に見つけられる、和音を特徴付けるために使用されるか、あるいは特定の音階かまたは音階のクラスと共に作ることができるところの和音や拡張によるさまざまな方法のいずれでもある。 この用語はHarry Partchによって紹介され、Harry Partchは、音楽の断片、つまり名前における、和音の複雑さでupper boundに与えるのにこれを使用した。 和音の'複雑さ'を定義する困難のために、限界概念のいくつかの異なった定式化がある。
調和級数と音楽の発展
Harry Partch、Ivor Darreg、およびラルフ・デヴィッド・ヒルは、音楽作品がますます高い倍音を使うように、ゆっくりと発展していることを示唆するために、多くのmicrotonalistsの中にいる。 中世の音楽では、最初の三和音の中での関係は、オクターブと完全五度だけで作られる和音が協和音であると考えられていた。 20世紀への変わり目の周りでは、四和音は基本的な構成要素としてアフリカのアメリカ音楽でデビューした。 従来の音楽理論教育学は、通常、これらの四和音を、長三度と短三度の連鎖と説明する。 しかしながら、それらは５倍以上の倍音中の関係から直接的に生ずると説明できる。 例えば、12平均律における属七和音は4:5:6:7に近似され、メジャーセブンコードは8:10:12:15に近似される。
この話は句読点がある均衡解の制度を通した発展の暗示に富む、少なくとも革命を受けるジャンルで(明瞭な三和音はジャズに非常にめったに使用されない)。 そこでは、それぞれの時代(例えば、三和音)の支配的な技術が前の時代(例えば、中世の開いている四度と五度)のものをほぼ完全に取り替える。
このことは、倍音の複雑さを説明する上限を使うための正当化と考えることができる。
奇数限界と素数限界
純正律音階では、ピッチの間隔を有理数から導く。 間隔のための音楽理論文学には二つの異なる形式の限界: 奇数限界(協和音の議論で使用)と 素数限界(音楽的音階の構築で使用)がある。 すべての作者がこの区別を意識しているわけではない。
「n」が奇数素数でさえあれば、素数限界と奇数限界が同じセットの間隔を含まないことに注意せよ。
奇数限界
「n」奇数限界の調律では、ピッチの間隔は有理数から導くので、分子か分母のどちらかを分割する最も大きい奇数は、「n」より大きくはなく、「n」は奇数の整数である。 純正律では、音楽の音程は周波数比によって表す。 音楽の創世記では、Harry Partchは純正律音程の複雑さを、比率(比率が最低項のとき)整数オクターブの数の大きさに比例すると定義した。 純正律においては２の階乗によってオクターブが表されるから、オクターブより狭いどんな音程の複雑さも、その比率の中の最大の奇数によって簡単に測定される。 限界概念の他の定式化とそれを区別するために、これはしばしば奇数限界であると呼ばれる。 次に、Paul Erlich等は、近代的な心理音響効果が音の立脚地にPartchの計画を置くことを示ている。 [1]
素数限界
「n」素数限界の調律において、ピッチ間隔は、素数である「n」よりも大きくない素数を用いて因数分解できる有理数から導かれる。 1970年代後半に、音楽の新しいジャンルは、アメリカのガムラン学校として知られている、合衆国の西海岸で具体化し始めた。 インドネシアのガムランによって奮い立たせられて、ミュージシャンはカリフォルニアとほかの場所で、純正律でそれらをしばしば調整して、かれら独自のガムラン楽器を作り始めた。 この動きの中心人物はアメリカ人の作曲家Lou Harrisonだった。 パーチは、直接調和級数からスケールをしばしば取ったが、パーチと異なって、アメリカのGamelan運動の作曲家は、それが以前はよくFokker periodicity blocksを組み立てていたように、純正律格子から方法でスケールを得る傾向があった。 そのようなスケールはしばしば非常に大きい数に従った比率を含むが、それにもかかわらず、それが簡単な間隔でスケールにおける他の注意に関係づけられる。 パーチを連れて行って、そのようなスケールの奇数限界がしばしば紛らわしい結果を生むので、これらのミュージシャンは代わりに特定のスケールにおける、すべての間隔の比率を因数分解が必要である中で最も大きい素数を使用した。 これは次に、素数限界として知られるようになった。
例
| 比 | 奇数限界 | 素数限界 |
|---|---|---|
| 3/2 | 3 | 3 |
| 4/3 | 3 | 3 |
| 5/4 | 5 | 5 |
| 5/2 | 5 | 5 |
| 10/3 | 5 | 5 |
| 7/5 | 7 | 7 |
| 10/7 | 7 | 7 |
| 9/8 | 9 | 3 |
| 27/16 | 27 | 3 |
| 81/64 | 81 | 3 |
| 243/128 | 243 | 3 |
純正律を超えて
調律では、純正律の簡単な比率は近い無理数に写像される。 うまくいくなら、この操作は異なった間隔の相対的な倍音の複雑さを変えないが、それで、高調波限界の計算は、より難しくなる。 最初に、どの合理的な間隔が近似されているかを決めて、次に、奇数限界か素数限界を見込まなければならない。 しかし、いくつかの有効な方法で、いくつかの和音(12平均律の減七和音などの)を純正律で調整できるので、この手順は時々失敗する。
注
外部リンク
- Limits – Consonance Theory Explained
- Limit definition – Encyclopedia of Microtonal Music Theory
- Just Intonation Explained
- Some music theory from Paul Erlich