発散

ベクトル解析における発散（はっさん、divergence）とは、ベクトル場の各点における量の変化の傾向を記述するスカラー場のこと、あるいはそのスカラー場を与える微分作用素のことである。湧出（ゆうしゅつ、わきだし）あるいは湧出量ともいう。

例えば、三次元空間のベクトル場である流体や電磁場の発散は、場が物理的に外部にどれだけ流れ出ている、あるいは流れ込んでいるかをあらわす。空間内の各点において、発散の値が正ならば湧出している様子を、負ならば流入している様子を見てとることができる。

定義

直交座標系において、ベクトル場 A = (A₁, A₂, ..., A_n) の、点 (p₁, p₂, ..., p_n) における発散、湧出量とはスカラー

{\partial A_{1} \over \partial x_{1}}(p_{1},\ldots ,p_{n})+{\partial A_{2} \over \partial x_{2}}(p_{1},\ldots ,p_{n})+\cdots +{\partial A_{n} \over \partial x_{n}}(p_{1},\ldots ,p_{n})

のことである。さらに p を動かして得られる次のスカラー場、

{\partial A_{1} \over {\partial x_{1}}}+{\partial A_{2} \over {\partial x_{2}}}+\cdots +{\partial A_{n} \over {\partial x_{n}}}

を、ベクトル場 A のダイバージェンス、発散あるいは湧出といい、div A, ∇ · A などとあらわす（· はドット積を、∇ はナブラを参照）。すなわち、

\mathrm {div\,} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\partial A_{1} \over \partial x_{1}}+{\partial A_{2} \over \partial x_{2}}+\cdots +{\partial A_{n} \over \partial x_{n}}.

3次元のユークリッド空間上での直交座標系 x, y, z のにおいて、単位ベクトルの基底を i, j, k とする。

ベクトル場 A = (A_x, A_y, A_z) = A_x i + A_y j + A_z k における発散は

\mathrm {div\,} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}

となる。

ただし、ψA は ψA(p) = ψ(p)A(p) なるベクトル場、ψ(div A) も同様である。また、× は外積、grad は勾配で rot は回転である。