条件付き確率

条件付き確率（じょうけんつきかくりつ、Conditional probability）とは、ある事象B が起こるという条件の下で別の事象A の確率をいい、これをP(A|B)またはP_B(A)と書く。

関連する概念とそれらの関係

同時確率または結合確率（Joint probability）とは、二つの事象がどちらも起こる確率をいう（時間的に同時という意味ではない）。A とB の同時確率を$P(A\cap B)$ または$P(A,\ B)$ と書く。

周辺確率（Marginal probability）とは、他の事象にかかわりなく一つの事象だけの確率をいう（普通の条件なしの確率と等しい）。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計（または一般に積分）すれば得られる。A の周辺確率はP(A)、B の周辺確率はP(B)と書く。

ただし、以上の二つの事象A とB の間には時間関係または因果関係はなくてもよいし、どんな関係であってもよいことに注意されたい。例えばベイズ推定で用いられる事後確率とは、ある根拠を条件として、その原因となった（時間的にも以前の）事象を推測した確率をいう。

確率に条件を付けるということは、別の（あるいは新たな）情報を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理で示される。

定義

A およびB を事象とし、P(B) > 0 とすると、B におけるA の条件付き確率は

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

あるいは

$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

により定義される。

独立性

2つのランダムな事象A とB は

$P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B)$

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象A と B については

$P(A|B)\ =\ P(A)$

かつ

$P(B|A)\ =\ P(B)$

である。言い換えれば、A とB が独立ならば条件B におけるA の条件付き確率はA 単独の確率に等しい。同様に条件A におけるB の条件付き確率はB 単独の確率に等しい。

排反性

2つの事象A とB は、

$P(A)\neq 0$

かつ

$P(B)\neq 0$

である限りにおいて、

$P(A\cap B)=0$

のとき、またそのときに限り排反的である（A とB は排反事象という）。従って

$P(A\mid B)=0$

で

$P(B\mid A)=0$

である。言い換えると、B が起こるという条件でA の起こる確率はゼロであり、またA が起こるという条件でB の起こる確率はゼロである。

その他

• ある事象$B$ に対して$P(B)>0$ ならば、すべての事象$A$ に対して、$Q(A)=P(A|B)$ で定義される関数$Q$ は確率測度である。
• $P(B)=0$ ならば、$P(A|B)$ は定義されない。
• 条件付き確率は決定木やベン図によりわかりやすく表示できる。