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最大事後確率 （さいだいじごかくりつ、英 : Maximum a posteriori, MAP ）推定 は、統計学 において、実測データに基づいて未知の量の点推定 を行う手法である。ロナルド・フィッシャー の最尤法 (ML) に密接に関連するが、推定したい量の事前分布 を利用して最適化された結果を得る。したがってMAP推定は、ML推定の正規化と見ることができる。
概要
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
x
{\displaystyle x}
標本分布 を
f
{\displaystyle f}
θ
{\displaystyle \theta }
x
{\displaystyle x}
f
(
x
|
θ
)
{\displaystyle f(x|\theta )}
θ
↦
f
(
x
|
θ
)
{\displaystyle \theta \mapsto f(x|\theta )\!}
という関数は尤度関数 であり、
θ
^
M
L
(
x
)
=
arg
max
θ
f
(
x
|
θ
)
{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {ML} }(x)=\arg \max _{\theta }f(x|\theta )\!}
は
θ
{\displaystyle \theta }
ここで、
θ
{\displaystyle \theta }
g
{\displaystyle g}
θ
{\displaystyle \theta }
ベイズ推定 における確率変数 として扱える。
θ
{\displaystyle \theta }
事後確率 は次のようになる。
θ
↦
f
(
x
|
θ
)
g
(
θ
)
∫
Θ
f
(
x
|
θ
′
)
g
(
θ
′
)
d
θ
′
{\displaystyle \theta \mapsto {\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}\!}
ここで
g
{\displaystyle g}
θ
{\displaystyle \theta }
Θ
{\displaystyle \Theta }
g
{\displaystyle g}
ベイズの定理 の直接的な応用である。
最大事後確率推定の手法では、次に
θ
{\displaystyle \theta }
最頻値 として推定する。
θ
^
M
A
P
(
x
)
=
arg
max
θ
f
(
x
|
θ
)
g
(
θ
)
∫
Θ
f
(
x
|
θ
′
)
g
(
θ
′
)
d
θ
′
=
arg
max
θ
f
(
x
|
θ
)
g
(
θ
)
{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)=\arg \max _{\theta }{\frac {f(x|\theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x|\theta ')\,g(\theta ')\,d\theta '}}=\arg \max _{\theta }f(x|\theta )\,g(\theta )\!}
事後分布の分母は
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
g
{\displaystyle g}
ベイズ推定 関数である。
MAP推定の計算方法はいくつか存在する。
例 ある並び
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
確率変数
N
(
μ
,
σ
v
2
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma _{v}^{2})}
μ
{\displaystyle \mu }
N
(
0
,
σ
m
2
)
{\displaystyle N(0,\sigma _{m}^{2})}
μ
{\displaystyle \mu }
最大化すべき関数は次のようになる。
π
(
μ
)
L
(
μ
)
=
1
2
π
σ
m
exp
(
−
1
2
(
μ
σ
m
)
2
)
∏
j
=
1
n
1
2
π
σ
v
exp
(
−
1
2
(
x
j
−
μ
σ
v
)
2
)
{\displaystyle \pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right)}
これは、次の式で
μ
{\displaystyle \mu }
∑
j
=
1
n
(
x
j
−
μ
σ
v
)
2
+
(
μ
σ
m
)
2
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu }{\sigma _{m}}}\right)^{2}}
従って μ のMAP推定値は以下のようになる。
μ
^
M
A
P
=
σ
m
2
n
σ
m
2
+
σ
v
2
∑
j
=
1
n
x
j
{\displaystyle {\hat {\mu }}_{MAP}={\frac {\sigma _{m}^{2}}{n\sigma _{m}^{2}+\sigma _{v}^{2}}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}
σ
m
→
∞
{\displaystyle \sigma _{m}\to \infty }
μ
^
M
A
P
→
μ
^
M
L
E
{\displaystyle {\hat {\mu }}_{MAP}\to {\hat {\mu }}_{MLE}}
関連項目 参考文献 M. DeGroot, Optimal Statistical Decisions , McGraw-Hill, (1970).
Harold W. Sorenson, (1980) "Parameter Estimation: Principles and Problems", Marcel Dekker. 
