局所コンパクト空間

数学において、位相空間 X が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、英: locally compact）というのは、雑に言って、X の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う位相空間はほとんどが局所コンパクトである。

定義

位相空間 X が局所コンパクトであるとは、任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在することである。

命題

コンパクト空間は局所コンパクトである

ハウスドルフかつ局所コンパクトな空間の開部分集合は局所コンパクトである

例

局所コンパクトである例

• コンパクト空間はすべて局所コンパクトである。
• d 次元ユークリッド空間 R^d は通常の位相に関してコンパクトではないが、局所コンパクトである。

局所コンパクトでない例

• Q は通常の位相で局所コンパクトではない。どの有理数の近くにも無理数が存在するので、有理数の近傍で完備なものが存在しないため。
• R² の部分集合

$\{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x>0\}$

は (0, 0) において完備な近傍をもたないので、局所コンパクトではない。

• 無限次元の線形位相空間は局所コンパクトではない。直感的には、有限次元の超立方体は各辺を n 等分すれば、n^d 個に分割できるが、無限次元だと無限個になってしまうので、全有界な近傍が存在しないからである。

コンパクト化

アレクサンドロフの一点コンパクト化についてここに書く。

参考文献

• 矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版〈共立講座21世紀の数学〉、1997年。ISBN 4-320-01556-8。 

関連項目

• コンパクト空間
• 位相空間
• 位相群
• 調和解析