倍積完全数
倍積完全数（ばいせきかんぜんすう、英: multiply perfect number, multiperfect number）は、自然数のうちその約数の和が元の数の整数倍になっているような数である。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = kn （k : 自然数）を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数とよぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。例えば 120 の約数の和は
- σ(120) = 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360
であり、120 の3倍となるので、120 は3倍完全数である。
p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち m が単偶数である場合）、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。
k倍完全数表
以下にそれぞれの k倍完全数 (k ≤ 7) のうち最小の数をあげる。
| k | 最小の k倍完全数 | 発見者、年 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | - |
| 2 | 6 | - |
| 3 | 120 | - |
| 4 | 30240 | デカルト、1638年 |
| 5 | 14182439040 | デカルト、1638年 |
| 6 | 154345556085770649600 | カーマイケル (en:Robert Daniel Carmichael)、1907年 |
| 7 | 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 | TE Mason、1911年 |
2007年12月現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。
性質
k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。
- k倍完全数が無数にあるかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、それ以上は存在しないと言われている。
- k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。
参考文献
- H. -J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255.
- C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206.
外部リンク
- The Multiply Perfect Numbers page
- The Prime Glossary: Multiply perfect numbers
- Weisstein, Eric W. Number.html "Multiperfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).
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