ランプ関数

ランプ関数(Ramp function)は実数を変数とする初等関数。制御工学にて使用されることが多い。グラフの形状が傾斜路(ramp)に似ていることからこの名がある。

定義

ランプ関数のグラフ

ランプ関数は次のように定義される。

$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

その他の定義

ランプ関数は以下のようにいくつかの方法で定義することも可能である。

• 傾きが1の直線とその絶対値との平均

$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

これは、max(a,b)関数の次の定義から導かれる。ここで、 a=x, b=0 とする。

$\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$

• 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積

$R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み

$R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• ヘビサイド関数の 積分

$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi$

解析的性質

微分

ランプ関数の微分は ヘビサイド関数となる。

$R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0$

フーリエ変換

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

${\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)$ $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ ${\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}$

ここで、δ(x)は ディラックのデルタ関数。 (式中、微分形にて使用されていることに注意)

ラプラス変換

ランプ関数の片側 ラプラス変換は次の通りとなる。

${\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$