ランプ関数

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ランプ関数のグラフ

ランプ関数: ramp function)とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数

この関数は工学において(DSPの理論など)応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路: ramp)に似ていることに由来する。

定義[編集]

ランプ関数 R(x) : RR には幾つかの同値な定義が存在する。

  • 場合分け
  • 指数 1 の切断冪関数
  • 最大値関数
  • 傾きが1の直線とその絶対値との平均[1]
  • 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積
  • ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み
  • ヘビサイド関数の積分
  • マコーレーの括弧英語版

解析的性質[編集]

非負性[編集]

ランプ関数は定義域全体で非負となる。

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

導関数[編集]

ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

フーリエ変換[編集]

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

ここで δ(x)ディラックのデルタ関数(式中では導関数が使用されていることに注意)。

ラプラス変換[編集]

ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

代数的性質[編集]

冪等性[編集]

ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。[2]

脚注[編集]

  1. ^ これは max(a,b) が次のように定義できることによる。
    これを最大値関数による定義 R(x) := max(x,0) に代入すればよい。
  2. ^ 次の証明には非負性が用いられている。

外部リンク[編集]

Weisstein, Eric W., "Ramp Function" - MathWorld.(英語)