マイヤーの関係式

マイヤーの関係式(英語: Mayer's relation)とは、理想気体における、定積比熱と定圧比熱の関係を表した式である。ドイツ人物理学者ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤーにより発見された。

マイヤーの関係式によると、定積比熱 $c_{v}$ と定圧比熱 $c_{p}$ の間には以下の関係が成立する。

$c_{p}=c_{v}+R$

ここで $R$ は気体定数である。

導出

定積比熱および定圧比熱は物質量あたりの内部エネルギー $u$ 、あるいは物質量あたりのエンタルピー $h$ の偏微分として

$c_{v}=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{v},~c_{p}=\left({\frac {\partial h}{\partial T}}\right)_{p}$

で与えられる。単位量あたりのエンタルピーは、物質量あたりの体積 $v$ と圧力 $p$ により

$h=u+pv$

で定義される。

従って、偏微分の連鎖律を用いると

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial h}{\partial T}}\right)_{p}&=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}\\&=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial u}{\partial v}}\right)_{T}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}\\&=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{v}+\left[\left({\frac {\partial u}{\partial v}}\right)_{T}+p\right]\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}\\\end{aligned}}$

が得られる。ここで熱力学的状態方程式

$\left({\frac {\partial u}{\partial v}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{v}-p$

を用いれば

$c_{p}-c_{v}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{v}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {Tv\alpha ^{2}}{\kappa _{T}}}$