フォードの円

1 から 20 の、 q に対するフォードの円。q ≤ 10 の円を p/q とし、 q によって色分けしている。それぞれの円は基準線および隣り合う円に接している。同じ分母を持つ既約分数は同じ大きさの円を持つ。(画像を大きなサイズで見たい場合クリック)

数学において、フォードの円（英: Ford circle）とは、中心が $(p/q,1/(2q^{2}))$ 、半径が $1/(2q^{2})$ の円である。ただし、 $p/q$ は既約分数であり、すなわち $p$ および $q$ は互いに素な整数。それぞれのフォードの円は水平軸 $y=0$ に接しており、それらのうち任意の2つの円は互いに交わりを持たないか互いに接しているかのどちらかである。

歴史

フォードの円は互いに接する円の特別なケースであり、基準線 (y = 0) は無限大の半径を持つ円と考えられる。互いに接する円の体系は、アポロニウスの問題やアポロニウスのギャスケットなどに名が残るペルガのアポロニウスによって研究された。17世紀にはルネ・デカルトが、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理を発見した。

フォードの円は日本の和算の算額にも登場する。このうち、代表的な問題として、1824年の群馬県の算額にて出題されたものがあげられる。この問題は共通の接線を持つ3つの互いに接する円の関係に関するものである。この問題は2つの（3つ目の円よりも）大きな外接円の大きさが与えられているとき、大きな2つの円の間にある3つ目の小さな円の大きさを答えよというものであった。この問題の答えはフォードの円に等しい。

${\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.$

フォードの円は1938年にフォードの円について言及したアメリカの数学者レスター・フォードの名前にちなんで名づけられた。

性質

分数 $p/q$ に対するフォードの円は $C[p/q]$ あるいは $C[p,q]$ と表記される。すべての有理数に、対応したフォードの円が存在する。さらに、直線 $y=1$ はフォードの円のひとつとしてカウントされる。これは、直線 $y=1$ が $p=1,q=0$ である無限に対したフォードの円であると考えられるためである。

2つの異なるフォードの円は、互いに交わりを持たないか互いに接しているかのどちらかである。x 軸上の有理数のそれぞれの点に接するフォードの円は存在するが、フォードの円の内部が互いに交わるような組は存在しない。$p/q$ が 0 と 1 の間であるとき、$C[p/q]$ に接するフォードの円は次のようにさまざまに表現することができる。

1. 円 $C[r/s]$ ただし $|ps-qr|=1$。
2. ファレイ数列において分数 $p/q$ に隣接する分数 $r/s$ に対する円。
3. Stern–Brocot treeにおいて、 $r/s$ が $p/q$ よりもひとつ大きい、あるいはひとつ小さい ancestor であるときの円 $C[r/s]$ 、あるいは $p/q$ が $r/s$ よりひとつ大きい、あるいはひとつ小さい ancestor のときの円 $C[r/s]$。

フォードの円はまた複素平面上の曲線としても考えられる。複素平面の変換のモジュラー群はフォードの円をフォードの円へと写す。

複素平面の上半平面を双曲平面のモデル（ポワンカレの上半平面モデル）と解釈することで、フォードの円はホロサイクルによる双曲平面のタイリングとも解釈することができる。任意の 2 つのフォードの円は双曲幾何学において合同である。$C[p/q]$ と $C[r/s]$ が互いに接しているフォードの円ならば、$(p/q,0)$ と $(r/s,0)$ を結ぶ、x 軸に垂直な半円は双曲的直線であり、この双曲的直線は 2 つの円の接点も通る。

フォードの円は $y=0$ および $y=1$ と円 $C[0/1]$ によって作られるアポロニウスのギャスケットの部分集合である 。

フォードの円の総面積

フォードの円（円板）の面積、オイラーのトーシェント関数 $\varphi$ 、リーマンゼータ関数 $\zeta$ 、アペリーの定数 $\zeta (3)$ の間には繋がりがある。 2 つのフォードの円は交わらないので、フォードの円

$\left\{C[p,q]:0\leq {\frac {p}{q}}\leq 1\right\}$

の総面積が 1 よりも小さいことはただちに従う。フォードの円の総面積は面積の収束する総和で求められる。定義から、その面積は

$A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}$

である。この式を単純化することで次の式を得る。

$A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},$

ただし、最後の等号はオイラーのトーシェント関数 $\varphi (q)$ に関する母関数としてのディリクレ級数を反映している。 $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$ なので、最終的に次のようになる。

$A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.$

外部リンク

• cut-the-knotというウェブサイトのFord's Touching Circles
• Weisstein, Eric W. "Ford Circle". mathworld.wolfram.com (英語).