ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり。ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）とも）とは、複素数（特に実数） θ および整数 n に対して

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。

実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式 :$(e^{i\theta })=\cos \theta +i\sin \theta$によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一つ）

$(e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {Z} )$

の成立を意味するものである。

証明

数学的帰納法による証明

証明 —
1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。

[i] n = 0 のとき

（左辺）$=(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1$

（右辺）$=\cos 0+i\sin 0=1$

よって n = 0 のときに本定理は成立する。

[ii] n - 1 のとき、すなわち

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta$

が成り立つと仮定すると

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}$

ゆえに、n のときも本定理は成立する。
よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。

2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。

n < 0 のとき、n = - m とおくと、m は自然数である。
1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}$

ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。
したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ。

複素数の積の性質による証明

証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ, φ ∈ C に対して

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}$

が成り立つ。よって帰納的に

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

がわかる。

オイラーの公式による証明

証明 — オイラーの公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ （θ は複素数）

を用いても導出できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}$

したがって

${\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}$

が得られる。

指数が非整数の場合

ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（指数法則等の不成立、failure of power and logarithm identities 参照）。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

θ を実数、w を複素数とすると

$\{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp\{w\log \exp(i\theta )\}=\exp\{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp(iw\theta )\exp(2n\pi iw)$　（n は整数）

である。したがって、w が整数であれば

$\{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp(iw\theta )\cdot 1=\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )$

という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは $\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )$ を含む複数の値を取ることになる。

{ exp(iθ) }^w の値の取り方について、w が有理数であれば、w = a/b （a, b は互いに素）と表すと、2nwπ = 2π×na/b であるから、n = 0, 1, …, b - 1 で循環し、b 個の値を取る。w ∉ Q （無理数または虚数）ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

適用例

虚数単位の累乗をド・モアブルの定理を用いて求める。

$i^{a}=(0+i)^{a}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{a}=\cos {\frac {a\pi }{2}}+i\sin {\frac {a\pi }{2}}$

（なお、先述したように、a が非整数のときは、複数取る値のうちの1つだけを求めている。）

例

$i^{2}=\cos {\frac {2\pi }{2}}+i\sin {\frac {2\pi }{2}}=-1+0i=-1$

$i^{\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{2\times 2}}+i\sin {\frac {\pi }{2\times 2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

虚数単位の平方根にはこの他にもう一つの解（-1倍したもの）があるのは周知の通りである。

関連項目

• 複素数
• 三角関数
• 1の冪根