ド・モアブルの定理

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ド・モアブルの定理(ド・モアブルのていり。ド・モアブルの公式(ド・モアブルのこうしき)とも)とは、整数 n に対して

(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta

が成り立つという複素数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルに因む。証明には三角関数加法定理が利用される。

ド・モアブルの定理を既知とすれば、左辺に現れる n自然数として、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することよりn 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則(の一部)

(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\quad(\theta \in \mathbb{R},n \in \mathbb{Z})

の成立を意味するものである。

証明[編集]

数学的帰納法による証明[編集]

1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。

[i] n = 0 のとき

(左辺)=(\cos \theta + i\sin \theta)^0 = 1
(右辺)=\cos 0 + i\sin 0 = 1

よって n = 0 のときに本定理は成立する。

[ii] n − 1 のとき、すなわち

(\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1} = \cos (n-1)\theta + i\sin (n-1)\theta

が成り立つと仮定すると

\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{n-1}(\cos \theta + i\sin \theta)\\
&= \{\cos (n-1)\theta + i\sin (n-1)\theta\}(\cos \theta + i\sin \theta)\\
&= \{\cos (n-1)\theta \cos \theta - \sin (n-1)\theta\sin \theta\} + i\{\sin (n-1)\theta \cos \theta + \cos (n-1)\theta \sin \theta\}\\
&= (\cos n\theta + i\sin n\theta)\\ 
\end{align}[注 1]

故に n のときも本定理は成立する。
よって、[i], [ii] から、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。

2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。

n < 0 のとき、n = −m とおくと、m自然数である。
1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、

\begin{align}
(\cos \theta + i\sin \theta)^n
&= (\cos \theta + i\sin \theta)^{-m}\\
&= \frac{1}{(\cos \theta +i\sin \theta)^m}\\
&= \frac{1}{\cos m\theta +i\sin m\theta}\\
&= \frac{\cos m\theta -i\sin m \theta}{(\cos m\theta +i\sin m \theta)(\cos m\theta -i\sin m\theta)}\\
&= (\cos m\theta - i\sin m\theta)\\
&= \{\cos (-m\theta) - i\sin (-m\theta)\}\\
&= (\cos n\theta + i\sin n\theta)\\ 
\end{align}[注 2]

ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。
したがって、任意の整数 n に対して本定理が成り立つ[1]

オイラーの公式による証明[編集]

オイラーの公式を用いても導出できる。
証明に本定理を使用しない方法(冪級数展開による証明など)によって導出されたオイラーの公式を用いるものとして

e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta

であるから、両辺を n 乗すれば

\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n&=(e^{i\theta})^n\\
&=e^{in\theta}\\
&=\cos n\theta+i\sin n\theta\\
\end{align}

したがって

\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n
&=\cos n\theta+i\sin n\theta\\
\end{align}

が得られる[2]

複素数の積の性質による証明[編集]

複素数の積の性質を用いても導出できる。

\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)
&=(\cos \theta\cos \phi-\sin \theta\sin \phi)+i(\sin \theta\cos \phi+\cos \theta\sin \phi)\\
&=\{\cos (\theta+\phi)+i\sin (\theta+\phi)\}\\
\end{align}

上記式について考えると、複素数の積は複素平面上では、その偏角分だけ回転することを意味する。

(\cos \theta+i\sin \theta)^n

ここで上記について考えると、 cos θ + i sin θn 回乗算することにより、偏角 θ から まで回転させていることにほかならない。さらに、複素平面上では負の回転を認めているので n が負の整数の場合にも成り立つ。
すなわち、

\begin{align}
(\cos \theta+i\sin \theta)^n
&=\cos n\theta+i\sin n\theta\\
\end{align}

が成立する[3]

指数が非整数の場合[編集]

ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数)からである(failure of power and logarithm identities 参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

zw を複素数とすると、

(ez)w

という表記では左辺が多価関数であることを表せておらず、 より正確には

(ez)w = (ez+2kπi)wk は整数)

と書ける。

(e^{i\theta})^p = (e^{i(\theta +2k\pi)})^p = e^{i\theta p} e^{i\cdot 2kp\pi}

ド・モアブルの定理が成り立つには、全ての整数 k に対して

e^{i\cdot 2kp\pi} =1

すなわち kp が整数であることが条件である。p が整数ならばこれが成り立ち、p が非整数ならば成り立たたない。(e)p は、e^{i\cdot 2ka\pi} の取りうる値の個数だけ値を取る。k = 0 のときはド・モアブルの定理は成立するが、k ≠ 0 では成立していない。

(e)p の値の取り方について、p が有理数 a/ba, b は互いに素)ならば、2kp\pi =2\pi \cdot \frac{ka}{b}k = 0, 1, …, b − 1 で循環し、b 個の値を取る。p が有理数でない(無理数または虚数)ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

指数が有理数の場合への拡張[編集]

指数 n が有理数のとき、n=\frac{a}{b}a, b は互いに素)とすると、

\left(\cos \theta +i\sin \theta\right)^\frac{a}{b}
\exp \left\{ i(\theta +2k\pi)\cdot \frac{a}{b} \right\} (k = 0, 1, ... , b − 1)

という b 個の値を取る[4][5]

一般化[編集]

ド・モアブルの定理を一般の複素数 z, w に拡張すると次のようになる。

(cos z + i sin z)w は複数の値[注 3]多価関数)を取りうり、
cos wz + i sin wz はその中の一つである。

適用例[編集]

虚数単位の累乗をド・モアブルの定理を用いて求める。

i^a =(0+i)^a =\left(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2} \right)^a =\cos \frac{a\pi}{2} +i\sin \frac{a\pi}{2}

(なお、先述したように、a が非整数のときは、複数取る値のうちの1つだけを求めている。)

i^2 =\cos \frac{2\pi}{2} +i\sin \frac{2\pi}{2} =-1+0i=-1
i^{\frac{1}{2}} =\cos \frac{\pi}{2\times 2} +i\sin \frac{\pi}{2\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)

虚数単位の平方根にはこの他にもう一つの解(-1倍したもの)があるのは周知の通りである。

関連項目[編集]

脚注[編集]

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参照[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 等式の整理に加法定理を利用した。
  2. ^ 等式の整理に三角関数の負角公式を利用した。
  3. ^ (\cos z+i\sin z)^w=\exp\left[w\log(\exp iz)\right]=\exp\left[iw\left(z+2n\pi\right)\right] である (nZ)。z = x + iy, w = a + ib (x, y, a, bR) としてさらに計算すると、\exp\left[-ay-b(x+2n\pi)\right]\cdot\left\{\cos\left[-by+a(x+2n\pi)\right]+i\sin\left[-by+a(x+2n\pi)\right]\right\} となる。