ド・モアブルの定理

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ド・モアブルの定理(ド・モアブルのていり。ド・モアブルの公式(ド・モアブルのこうしき)とも)とは、整数 n に対して

(\cos \theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta

が成り立つという複素数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因む。証明の 1 つでは、三角関数加法定理が利用される。

ド・モアブルの定理を既知とすれば、左辺に現れる n自然数として、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することより、n 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則(の一つ)

(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\quad(\theta \in \mathbb{R},n \in \mathbb{Z})

の成立を意味するものである。

証明[編集]

数学的帰納法による証明[編集]

複素数の積の性質による証明[編集]

オイラーの公式による証明[編集]

指数が非整数の場合[編集]

ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数)からである(指数法則等の不成立failure of power and logarithm identities 参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

θ を実数、w を複素数とすると

(\exp(i\theta))^w=\exp(w\log \exp(i\theta))=\exp(wi(\theta+2n\pi))=\exp(iw\theta)\exp(2n\pi iw) (n は整数)

である。したがって、w が整数であれば

(\exp(i\theta))^w=\exp(iw\theta)\cdot1=\cos(w\theta)+i\sin(w\theta)

という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは \cos(w\theta)+i\sin(w\theta) を含む複数の値を取ることになる。

(exp(iθ))w の値の取り方について、w が有理数であれば、w = a/ba, b は互いに素)と表すと、2nw\pi =2\pi \cdot \frac{na}{b} であるから、n = 0, 1, …, b - 1 で循環し、b 個の値を取る。wQ (無理数または虚数)ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

適用例[編集]

虚数単位の累乗をド・モアブルの定理を用いて求める。

i^a =(0+i)^a =\left(\cos \frac{\pi}{2} +i\sin \frac{\pi}{2} \right)^a =\cos \frac{a\pi}{2} +i\sin \frac{a\pi}{2}

(なお、先述したように、a が非整数のときは、複数取る値のうちの1つだけを求めている。)

i^2 =\cos \frac{2\pi}{2} +i\sin \frac{2\pi}{2} =-1+0i=-1
i^{\frac{1}{2}} =\cos \frac{\pi}{2\times 2} +i\sin \frac{\pi}{2\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)

虚数単位の平方根にはこの他にもう一つの解(-1倍したもの)があるのは周知の通りである。

関連項目[編集]

脚注[編集]

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参照[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 等式の整理に加法定理を利用した。
  2. ^ 等式の整理に三角関数の負角公式を利用した。