ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（-ていり。ド・モアブルの公式（-こうしき）とも）とは整数 n に対して、

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

が成り立つという複素数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルに因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。

ひとたびド・モアブルの定理が証明されそれが既知であるならば、定理の等式に現れる n を自然数とするとき、左辺の冪乗を展開して実部・虚部を比較することで、n 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一部）

$(\exp i \theta)^n = \exp in \theta \quad(\theta \isin R,n \isin Z)$

の成立を意味するものである。

証明

1. まずは n が（0を含む）自然数であるときに、数学的帰納法を用いて定理の成立を示す。

[i] n = 0 のとき

（左辺） = (cos θ + isin θ)⁰ = 1

（右辺） = cos 0 + isin 0 = 1

よってn = 0のとき成立。

[ii] n = k のとき

(cos θ + isin θ)^k = cos kθ + isin kθ

が成り立つならば、

(cos θ + isin θ)^{k + 1}

= (cos θ + isin θ)^k(cos θ + isin θ)

= (cos kθ + isin kθ)(cos θ + isin θ)

$= \cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta$

$= (\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)$

ここで加法定理より、

$\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos (k\theta + \theta)$

$\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin (k\theta + \theta)$

であるから、結局

(cos θ + isin θ)^{k + 1} = cos((k + 1)θ) + isin((k + 1)θ)

となり、n = k + 1のときも定理は成立する。

よって、[i], [ii]から全ての自然数 n に対してド・モアブルの定理が成り立つ。

2. 続いて n が負の整数の場合を、既に示した n が自然数の場合を利用して証明する。

n < 0 のとき n = -m となる自然数 m をとると、1. の結果より m に対しては定理の等式が成立するから、

(cos θ + isin θ) ^{− m}

$= {1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{m}}}$

$= {1 \over {\cos m \theta + i \sin m \theta}}$

$= {{\cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta)(\cos m \theta - i \sin m \theta)}}$

= cos mθ − isin mθ

であり、また、

cos( − mθ) + isin( − mθ) = cos mθ − isin mθ

であるからn < 0のときも成り立つ。

以上からド・モアブルの定理は任意の整数 n について成り立つことが示された。

関連項目

• 複素数
• 三角関数