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数学において、デデキントのイータ関数(Dedekind Eta function)は次式で定義される関数である[1]。
ヤコビの三重積の公式により、
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
極と零点
であればであるから、
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
テータ関数との関係
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて
である。また、
である。
モジュラー変換
テータ関数の虚数変換式により
であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、
である。また、
であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。
出典
- ^ Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function