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数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題(ジグザグほだい、英: zig-zag lemma)は、鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏で通用する。
補題の主張[編集]
任意のアーベル圏(アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など)において、
が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする:
![{\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01384511281d3e8b2381dfcdde7421ceb3838bc)
この系列は以下の可換図式の略記であるとする:
ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。
ジグザグ補題は、境界写像(族)
![{\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c649b71aaae75be3491cbe6e84ec304223de6)
が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する:
と
は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像
は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題(ジグザグ補題)はその名(蛇の補題)でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。
境界写像の構成[編集]
写像
は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。
を、
に属すある同値類の代表元とする。よって
。行方向の完全性より
は全射なので、
となる
が存在しなければならない。図式の可換性より、
![{\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a399f8ed23ea290290c31879aac1dbb0d279970)
再び行方向の完全性より、
![{\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70da51760ea3b3137d9cd28fb58a6039dd13f3c6)
は単射だから、
を満たす
が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら
は単射で、かつ
より
![{\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7cd5e5a8720c31b77125c2c28d7f370d9ff8ab)
が従うからである(つまり
)。
は輪体なので、
に属すある同値類の代表元になる。ここで、
![{\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e1f2259b95b17f0aedbe120073bd1bfa974133)
と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる(つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である)。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。
関連項目[編集]
参考文献[編集]
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC
- Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0