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エントロピー最大化モデル(エントロピーさいだいかモデル、英語: Entropy Maximising Models)は、アラン・G・ウィルソン(英語版)により導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。
モデル式
発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。
- 発生―吸収制約モデルの場合
![{\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e46a7cc705f53a711a54a9d163ff12a44b701b)
(1)
ただし
- 発生制約モデルの場合
![{\displaystyle T_{ij}=A_{i}O_{i}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcde2098cf7fa7940c8bd571b9e0ed475f093cd)
(2)
ただし
- 吸収制約モデルの場合
![{\displaystyle T_{ij}=B_{j}{V_{i}}^{\alpha }D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499b5ba96a310e4e3c294199f442b09787a20efb)
(3)
ただし
導出
発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。
発地を
個、着地を
個、流動数の総和を
[注釈 1]、地域
から地域
への流動を
とする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである(ただし
は総移動費用)。
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}T_{ij}=O_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aae575efabbfe11c657d9e3bd9655ba1d358090)
(4)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}T_{ij}=D_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db717dcf7e7c4a097e967f5c7d75fcef4ed1734)
(5)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij}=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071340ea4381acb2c281c570ff24c4440462f272)
(6)
ここでは
を
に分配する、場合の数
の最大値の決定を行えばよい。このとき、
![{\displaystyle {\begin{aligned}W(T_{ij})&={\binom {T}{T_{11}}}{\binom {T-T_{11}}{T_{12}}}{\binom {T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}}}\cdots {\binom {T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1}}{T_{mn}}}\\&={\frac {T!}{T_{11}!(T-T_{11})!}}\cdot {\frac {(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!}}\cdots {\frac {(T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}}\\&={\frac {T!}{\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628601bd3eee7cc9fc9cff407cc0ad5a6a4a5138)
(7)
が成立する。ここで、最大値の導出のために、式(7)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。
![{\displaystyle \ln W(T_{ij})=\ln T!-\ln {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae40aead7906be01db49592eaf473c68012a41a)
(8)
ここで、スターリング近似により、
が十分に大きいとき
が成り立つため
![{\displaystyle \ln W(T_{ij})=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07546b1d924d720fd779587b00e98d1e1a853494)
(9)
が導かれる。よって、
の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。
は式(4)、
は式(5)、
は式(6)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数
は
![{\displaystyle L=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(O_{i}-\sum _{j=1}^{n}T_{ij})+\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}(D_{j}-\sum _{i=1}^{m},T_{ij})+\beta (C-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23be67502a6fa5576324e71a1754d988d40a357e)
(10)
となる。ここで、
の最大値を与える
は、偏微分方程式
を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4be512253ebf23148fc0cfcafe12ab53723e70)
(11)
式変形すると、以下の式が得られる。
![{\displaystyle T_{ij}=\exp(-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b426842c729c4e823ebcf4ac774ff5852c3876)
(12)
さらに式変形すると、以下の式が得られる[注釈 2]。
![{\displaystyle T_{ij}={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}\cdot {\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}\cdot \beta d_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8970432ff637700ce8ce3d24a6208ef20deefd12)
(13)
が得られる。このとき、
![{\displaystyle A_{i}={\frac {\exp(-\lambda _{i})}{O_{i}}}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ea24202ff0adbea45bd6790ffccdc8597e4f3b)
(14)
![{\displaystyle B_{j}={\frac {\exp(-\gamma _{j})}{D_{j}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c786cec2f9a3acd4a70e01e77f1ece55e301b514)
(15)
とおくと、式(13)は
![{\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e46a7cc705f53a711a54a9d163ff12a44b701b)
(16)
と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。
この他、発生制約モデルの場合は式(4)・式(6)を、吸収制約モデルの場合は式(5)・式(6)を、無制約モデルの場合は式(6)を制約条件として使用することで導出できる。
脚注
注釈
- ^
は、発着地の組合せ
種類の流動数の総和であり、
![{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7db2a7e08fd4f1d836c05aad6698b9b24a5c15c)
が成立する。
- ^ 式(12)を、式(4)・式(5)に代入して得られる以下の2式
![{\displaystyle \exp(-\lambda _{i})={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3048c8fd8c700205fb2a4e08c9653d18c82fa83f)
![{\displaystyle \exp(-\gamma _{j})={\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ebfef4a2ff2c481d1e4f0c488a0c2b2c7a3ba8)
を、さらに式(12)に代入すればよい。
出典
参考文献