Wikipedia:秀逸な記事の選考/ロジスティック写像 20220618

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ロジスティック写像（ノート / 履歴 / ログ / リンク元）[編集]

賛成/条件付賛成/保留/反対 3/0/0/0 この項目の選考期間は、2022年9月18日 (日) 10:44 (UTC)（2022年9月18日 (日) 19:44 (JST)）までです。

  • （推薦）十分なところまで完成したと考えるので推薦します。元々この題材が入門的な位置付けでよく紹介されることもあり、重要語の説明をこの記事に含めながら、全体的に分かりやすく書いたつもりです。とはいえ、あくまでも数学の記事なので数式や用語は沢山出てくるので、人によってはどうしても読んでてダルいでしょうが。とりわけ導入部から最初の「定義と背景」節にかけては、慣れている人には冗長に感じるかもしれないぐらいのかみ砕いた説明で基礎事項を記述し、この題材を使って何をするのか・したいのかを、そういった人でもとりあえず分かるようにしているつもりです。--Yapparina（会話） 2022年6月18日 (土) 10:44 (UTC)[返信]
  • コメント まだ4.普遍性の途中までしか読めていないですし、最後まで読める保証もないのですが、現時点で感じたことをざっくばらんに、メモ代わりに記しておきます。なお、私はライフサイエンス畑の人間で数学ができない人間であることをご承知おきください。
    • まず読んだ限りでは全般的に非常にわかりやすく、高校数学の知識があればおおよそ理解できるように書いてあるように感じました。数学系の記事は何を書いているのか諸学者が全く理解できないし理解させる気もなさそうな記事が多い中で、（おそらくできる人にはくどいくらいになりつつも）模範的なまとめられ方をしていると思います。
    • ファイル:ロジスティック写像2回反復グラフの周期倍化分岐の様子.pngで説明されている「xn+2 と xn の関係を表す曲線」についてはMay, 1976がそうしているように、定義域全体のグラフもあると良い気がしました。
    • 元々の発想がそうであったがために導入部や定義、「生物個体数モデルとしてのロジスティック写像」などで「離散型個体群モデル」としての側面にかなりの重きを置いているように感じますが、ライフサイエンス畑の人間としてはロジスティック方程式のように実在のデータとのフィッティングが試みられてきたのかが大変気になります。「メイ自身が思考実験的なモデルであって実在の自然現象を厳密にモデル化したものではないと考えている」という風に理解しましたが、実際のところっ無理矢理にでもフィッティングを試みた人はいないのでしょうか。あったとして掲載に値するかは別かもしれませんが。ロジスティック方程式を編集されていたYapparinaさんには釈迦に説法ですが、ご意見いただければと思います。
    • 細かい話ですが、a=4の節は階層を下げて「3.56994… < a ≦ 4 のとき」の下に置いた方が良いと思います。なぜそう考えるかというと理由が二つあって、一つにはカオス的振る舞いを見せるという点で、a=4は「3.56994… < a ≦ 4 のとき」の特殊解？に過ぎないのではないかと理解したためです。もう一つは細かいことですが、「3.56994… < a < 4 のとき」と言っておきながら「例えば a = 4 でロジスティック写像を計算すると」などとa=4の場合の話をしているのが微妙に気になるためです。
  • あまりまとまりがなく申し訳ないですが、参考になれば幸いです。できれば最後まで読んで改めてコメント/投票したいと思います。--Karasunoko（会話） 2022年6月28日 (火) 14:54 (UTC)[返信]
  • レビューありがとうございます。
  • （xn+2 と xn の関係の定義域全体のグラフについて）全体でうまく表現できるかどうかちょっと試してみます。
  • （データとのフィッティングについて）その辺りが気になるのはよくわかります。ただ、相当な量の文献を漁ってきたつもりですが、ロジスティック写像を現実の個体数変動データと比較したようなものは見当たりません。個体群ダイナミクスの専門書でもロジスティック写像は紹介されていますが、あくまでも離散時間モデルの基礎付けやカオス現象の紹介の流れで触れていることがほとんどで、生物個体数モデルとしてのロジスティック写像を実証的に検証した例はほとんどないんじゃないかなと思います。この辺については、フィッテイングした結果が豊富にあり、昔は人口予測に実際に応用もされていたロジスティック方程式とは、立ち入りが大きく異なるというのが自分の理解です。
  • （a=4節の階層について）a=4は、種々の特性が証明されているそれ以前よりも特別な場合なので、他の節と並列して独立させた節にしておきたいというのが私自身の考えです。「3.56994… < a < 4 のとき」と言っておきながら「例えば a = 4 でロジスティック写像を計算すると」などと書かれているというのは、まったくおっしゃるとおりです。例を置き換えれるかなどを検討してみます。--Yapparina（会話） 2022年7月2日 (土) 00:54 (UTC)[返信]
コメント 一度通して読んだあと、もう一度確認している最中ですが、おそらくこれといった問題はまったくない記事なのだと思います。私もあらためてコメントしたいと思いますが、
  • (1)この記事にかぎらない一般的な質問になってしまうのですが、導入部の、主題の定義文に xn+1 = axn(1 − xn) のような数式が出てくるのは問題ないのでしょうか。（追記：もうひとつ実際上の問題があるとすれば、グーグルのナレッジパネルは括弧を中身ごと省略して表示するので、現在この記事は「ロジスティック写像とは、xn+1 = axn という2次関数の差分方程式で定められた離散力学系である。」となってしまっています。）
  • (2)チェック 太字の強調を使うことの是非はさておき、「U系列」のような、太字で強調されながらその後記事中に出てこないものがある一方、頻出する「周期倍化分岐」「カスケード」などが太字になっていないのが（少し）気になりました。
  • (3)チェック 「定義と背景」節ですが、記事のタイトルに「写像」が含まれているので写像の概念をなるべく早く説明したほうが親切と思います。
  • (4)チェック 「まるでジャングルの中を探検するほどわくわくする内容」は打ち間違いがまじっているように思われます。
  • (5)チェック 「リーとヨークは、1973年に同論文で一度完成させていたが」は「同論文を一旦完成させていたが」のような趣旨でしょうか。
コメント ※細かい点をここへ追記します。
  • (6)チェック 「実は不動点 xf 1 = 0 と不動点 xf 2 = 1 − 1/a も、式 (3-4) を満たす。」の「実は」は例えば「当然だが」のようなニュアンスの表現に置き換えたほうがいいのではないでしょうか。実際すぐ下に「不動点と2周期点の4つの解をくくり出したとしても」というのがさらっと出てきています。
  • (7)チェック 図「a = 3.55 から a = 4 までのロジスティック写像の軌道図」ですが、画像はaではなくrを使っており、その点注釈しておくとよいとおもいます。
  • (8)チェック 「ロジスティック写像の分岐図を書くと、不動点 xf 1 = 0 を表す曲線と」の「曲線」は「直線」にしてもよいように思われます。
  • (9)チェック 「2つの初期値 x0 と ˆx0 がどれだけ近い値だとしても」のところですが、ハット記号はすぐ上のところで「写像を一回適用すると xf 2 に写る値を ˆxf 2 と表記するとする。」として使われているので、別の記号を選んだ方がよいかもしれません。
  • (10)チェック 「ロジスティック写像は、系としての自由度あるいは次元は 1 である」のところは、「1変数の関数である」のようなものを真ん中に入れるとわかりやすくなると思います。
  • (11)チェック 「ファイゲンバウム・アトラクタを構成する点は、無限個でなおかつその濃度は実数と等しい」のところですが、「濃度」という言葉はその箇所以外では使われておらず、「非可算無限」に統一したほうがよいと思います。
  • (12) 「容量次元でおよそ 0.54 であることが知られている」は、言いっぱなしになっている印象を受けました。0.54はどのような意味をもつのでしょうか。
コメント コメントします。
  • (13) 「定義と背景」節では、出だしが中学生でもわかるような説明になっていて、大変よいとおもいます。「定義域とグラフ」節でも同様の試みができると考えます。ロジスティック写像は大学の入試問題としてよく使われているところ（使われていることの出典としては、このようなものが見つかりました）、たとえばこの問題（大阪大学、2004年）は同節の内容をほぼ受けきっているようです（と「振る舞い、パラメータ a による変化」節の一部、2周期点）。このような問題を引用ないし画像的引用することで、もう少しの間身近感を出していけると思います。
  • (14)チェック Karasunokoさんのご指摘にも関連しますが、コンピュータ方面の説明と資料揃えは他と比べて少し弱いかなと私も思いました。また、数値計算の仕組みと、それが初期値敏感性と密接に関連することの説明は、是非ともほしいです。たとえばですが、このような感じで。
    1. 「コンピュータを用いてデジタルにカオスを計算する一般的問題として、コンピュータでは有限計算精度で計算される」
    2. ＜固定小数点・浮動小数点方式の簡単な解説＞
    3. （表現の範囲が有限であるため）「原理的に真に非周期の数列を得ることができない」
    4. 「a = 4 のロジスティック写像【も】、一部の値を除いてほとんどの初期値から始まる数列は非周期となるはずだが、実際にコンピュータで計算すると周期的な数列になる」
    5. 「計算途中で数値が不動点 0 や 0.75 に落ち入り、そのまま一定値になるおそれもある」
    6. 「擬似乱数生成のためには、できるだけ長い周期の数列が望ましい」
    7. ＜初期値敏感性への対処も重要である。式の形や計算の順序などによって結果がかわってくる＞
    8. ＜解決策＞
  • (15)チェック 「研究史」節ですが、デバニーの引用の前のどこかに現在の研究状況の要約がほしいです。例えば「カオスは物理学方面にも大きな衝撃を与えることとなる。」の直後にセクションの区切りを入れ、「ただし、カオス流行以前の研究成果が軽視され……」の前で説明するのはどうでしょうか（たとえばです）。
  • チェック 参考意見となりますが、一方で、Karasunokoさんのご指摘のうち、特別な場合の厳密解の導出については、私は不要と思います。
私からは以上となります。
--たけとう（会話） 2022年7月3日 (日) 03:18 (UTC) 補足 --たけとう（会話） 2022年7月4日 (月) 03:55 (UTC)[返信]
--たけとう（会話） 2022年7月4日 (月) 06:47 (UTC) 追加 --たけとう（会話） 2022年7月6日 (水) 03:54 (UTC)[返信]
--たけとう（会話） 2022年7月6日 (水) 03:54 (UTC)[返信]
レビューありがとうございます。返答の便宜のために各コメントへ番号をつけさせてもらいました。
  • (1)いろんなケースが考えられるでしょうが、今回の場合は導入部であっても数式を書いた方がいいだろうと判断してそのようにしております。理由としては、
    • WP:MOSINTROには「多くの場合、役立つ略語は紹介しますが、専門用語や記号といった理解の難しいものは避けます。数学の方程式や数式は、幅広い読者が理解できる導入部を作るという目標を妨げるのであれば、通常は避けるべきです。」とありますが、冒頭で示しているのは中学校でも習うレベルの方程式一つだけであり、「幅広い読者が理解できる」のを妨げるような状態にはなっていないと考えています。数式オンリーで定義文を書いているわけではないので、数式が嫌な人はその部分だけ無視してもらっても、分かるようには書いているつもりです。
    • 数式を定義文・導入部から無くしたとしても、そうしたからといって本当に分かりやすくなるのかという点もあります。まどろこしく言葉だけで説明するよりも、数式そのものを提示した方が話が早いだろうとも考えられるということです。仮に数式を省いた場合、定義文は「2次関数の差分方程式（漸化式）で定められた離散力学系」になりますが、それはそれで「2次関数の差分方程式って何？」になるだけなのでは、ということです。
    • グーグルのナレッジパネルについては、所詮は外部サイトの事情なので、まったく気にするべきではないとまでは言いませんが、優先すべきはウィキペディアのサイトに訪問した人たちにとってベストなものは何かだと思います。{{Math}} がナレッジパネルの誤表示に影響しているのなら、妥協点として、その部分は{{Math}}を使わないなどの処置はしてもいいと思いますが。
  • (2)どこまでを太文字にするのかは難しい問題で私も悩みながらやってますが、この記事では「記事中で頻出することになる重要基礎語」と「ロジスティック写像の記事ぐらいでしか説明されそうにない用語」を太文字にしています。「U系列」は後者の相当します。ひとます頻出する「周期倍化分岐」「カスケード」も太文字にすることにしました。
  • (3)「定義と背景」節に手を加え、写像の説明を少し前にもってきました。
  • (4)「まるでジャングルの中を探検するほどわくわくする内容」は原文ママです。著者の誤記なのか意図通りなのかはわかりませんが、記事の読者が引っかからないように別の表現箇所に差し替えました。
  • (5)「同論文を一旦完成させていたが」という意味です。表現を修正しました。
  • (6)「実は」という言い回しについて、おっしゃりたいことは分からないでもないですが、今のままでも良いかなと私は思っているので指摘のようには変更していません。
  • (7)図のキャプションに説明を追加しました。
  • (8)「直線」に変更しました。
  • (9)「2 < a < 3 のとき」節の方をハット記号から変更しました。
  • (10)コメント趣旨に沿って、少し文を修飾しました。
  • (11)「非可算無限」に統一したからといってそこまで分かりやすくなるとは思えないことと、「濃度」という数学用語への記事の中で使って紹介するというのも大事だと思いますので、指摘のようには変更していません。
  • (12)容量次元ないしフラクタル次元の説明までやるのは、この記事の所掌範囲を超え、記事の肥大化につながりますので、指摘のようには変更していません。容量次元の記事はまだ未作成のようですが、本文では「また、ファイゲンバウム・アトラクタのフラクタル次元は、ハウスドルフ次元あるいは容量次元でおよそ 0.54 であることが知られている」と書いておりますので、0.54の意味合いを知りたい人は記事「フラクタル次元」や「ハウスドルフ次元」に飛んでもらい、確認いただけばと思います。
  • (13)「定義域とグラフ」節までも中学生でもわかるようというのは厳しいです。できるかもしれませんが、確実に記述量は倍増し、それはそれで読むのが大変になると思います。「定義域とグラフ」節の文章に少し手を加えて、説明をもうちょっとスムーズになるようにはしてみました。
  • (14)「擬似乱数生成器」節は、ロジスティック写像に関係することに絞りつつ、書けることをめいっぱいかき集めて書いたのが今の文章なので、これ以上の改善はわたしには困難です。カオスと数値計算、初期値鋭敏性と擬似乱数生成の話などは、別にロジスティック写像にのみ関わる話ではなくカオス全体の話なので、この記事の中で長々と説明すべでないと考えます。将来的に、上位記事のカオス (力学系)やカオス理論などでその辺りに関する説明がなされれば十分だと思います。また、本文にも「カオスからの擬似乱数生成器で十分な性能を持つものはまだ実現されていないが」と書いて予防線を張ったつもりなのですが、そもそも擬似乱数分野でカオス利用は非主流であり、たぶん実用もほぼされていないと思いますので、そういった事情を踏まえると、「擬似乱数生成器」節の説明を長々と拡張するのは読者をミスリードすることになると思います。WP:WEIGHTに沿って、「そういう応用研究例もあるよ」程度にできるだけコンパクトに紹介するべきと考えます。
  • (15)現在の研究状況の要約について、そういったものを説明している総説論文などでもあれば書きたいところですが、そういった文献の存在は寡聞にして存じません。百科事典記事における「研究史」節なんてものは長期間の時間経過のふるいにかけられてもなお第三者から語られて残っている"熟した"事柄が記されていれば充分、というのが私の考え方なので、「研究史」節に現在の研究状況について書かれていないことは別に問題ではないと考えております。
--Yapparina（会話） 2022年7月9日 (土) 03:54 (UTC)[返信]
返信 丁寧なご返信ありがとうございます。明らかに解決されたものにとりいそぎチェック をいれます。残りも別に反対というわけではなく、しばらくおまちください。--たけとう（会話） 2022年7月9日 (土) 06:46 (UTC)[返信]
賛成
  • (1) 導入部で数式を使用すること自体は、xn+1 = axn(1 − xn) 程度の数式であればもちろん問題なく、使用により説明がわかりやすくなると私も思います。ただ、数式の意味は文脈に依存するので、定義文に書く場合はそこまで説明しないと記事主題を定義しきれていないのではないかと思いました。とはいえこの記事の数式は簡単であるため、読んでいてひっかかることは普通ないでしょう。
  • (12) アトラクタの次元は直線の半分程度である、ぐらいの短い直感的な説明があると読み物として完結すると思います（提案程度）。
  • (13) もちろん高校生レベルの説明になるのですが、大学の入試問題を紹介しながら説明すると身近な感じがだせるのではないかとおもいました。現在の説明はそのままでいいのですが、これも提案レベルです。
  • (14) ご説明いただき、納得しました。--たけとう（会話） 2022年7月9日 (土) 09:18 (UTC)[返信]
  • 条件付賛成一通り読んだので投票します。上のコメントについて、グラフは「a=3（など）の時の全体図」＆「元の拡大図」を意図していましたが、ちょっと説明不足でした。申し訳ありません。ただ、全体図のみでも良いかとは思います。
  1. チェック 高い完成度で文章や構成がよくまとめられている。（可能なら）図や画像や表なども使われ、説明を補助している。
    全体的な構成は先述の通りよくまとめられていると思います。また、図表が効果的に使用されており、理解の補助に役立っています。
  2. チェック 詳しくない読者にもその主題について理解できるように、わかりやすく書かれている。ただし、高度に専門的な主題を扱ったものであれば、関連記事を読んで理解していることを前提にするのは問題ない。
    §普遍性以降、特に§普遍性と§応用がいささか難解に感じますが、数学の記事となるとある程度限界があるかと思います。現状でも概ね十分にわかりやすく説明されていると考えて良いと思います。
  3. チェック 必ず説明されるべき点から主な関連事項までが含まれ、内容が充実している。ただし、どこまでを含むかは他の記事との連携・分担関係にもよる。
    §特別な場合の厳密解については導出が必要ではないでしょうか？必ずしも本文に記載する必要はなく、注釈で良いと思いますが、ロジスティック方程式からのロジスティック写像の導出が詳細に記されているのに比べると若干不親切な印象を受けます。もう一つ、§メイの研究以後にいきなり「スケーリングの法則」という単語が出現しますが、これがわかりません。なんのことを指しているのでしょうか。十分に説明されていると思います。
  4. チェック 専門的な資料から関連資料に至るまで、主題についてよく調査されている。
    十分な文献が調査されているものと推定されます。
  5. チェック 観点の中立性が保たれている。
    そもそも中立性が問題になる主題とは思いません。
  6. チェック 必要な出典が記事全体を通して十分に挙げられており、個々の記述の根拠が脚注や本文中で明らかにされている。特に、肯定的・否定的・主観的な表現については出典が付けられていることが望ましい。
    出典のない記述は見受けられないのですが、董, 2012の取り扱いについて再考の余地があると思います。この資料は学位論文ですが、en:Wikipedia:Reliable sourcesにも記載されているように、学位論文の取り扱いには注意が必要であり、差し替えが可能なら検討する必要性があると思います。ブルーバックスの様などちらかというと一般向けの文献と学位論文でどちらがより信頼性が高いかというと微妙なところではあるのですが、2022年7月2日 (土) 10:00 (UTC)版でいうところの引用番号321-324の様な記述は可能な限り他の文献を加える/差し替えるといった対応が望ましい様に思います。
  7. チェック 以上の点が全て満たされている。
    上述の通り、いくつかの点において軽微な改善が必要と考えます。
以上、ご検討くださいませ。--Karasunoko（会話） 2022年7月3日 (日) 04:59 (UTC)[返信]

若干追加--Karasunoko（会話） 2022年7月3日 (日) 05:07 (UTC)修正を受けて一部変更[返信]

  • たけとうさんのコメントを受けての補足ですが、厳密解の導出は合理的に考えて不要と判断されるのであれば当然入れなくても構いません。条件付き賛成というと修正しないといけないみたいな雰囲気ですが、私の意図するところはminor revisionという意味合いです。あくまで素人の一意見として受け入れていただければと思います。逆に、冒頭、導入部の式はほとんど定義そのものといってもいいような重要な式と受け取っていますし、あった方がいいと思います。ましてやグーグルのナレッジパネルは外部の話ですから、ウィキペディア側で気にすることではないのでは？--Karasunoko（会話） 2022年7月6日 (水) 15:25 (UTC)[返信]
  • 3の「特別な場合の厳密解」について、厳密解の導出の詳細は記載しませんでしたが、すこし文章を足して文脈を作ってみました。ロジスティック方程式からのロジスティック写像の導出詳細を示したのは、ロジスティック方程式からのロジスティック写像の導出は多くの文献（私が知っているだけでも4～5冊ぐらい）で説明されていることや、名称の直接の由来でものあることも踏まえて、記事中でも詳しい注記を記すことにしました。それと比較すると厳密解の導出に触れる文献はまれなので、それも厳密解の導出を詳述していない理由です。そもそも力学系という分野は厳密解を導出できないような微分方程式系や差分方程式系の解の振る舞いをどうやって理解するかというアプローチのために生まれた分野なので、厳密解の導出にあまり関心がないという背景もあります（そういった事情も親記事「力学系」にちゃんと書きたいんですけどね）。
  • 3の「§メイの研究以後」について、「スケーリングの法則」というのは「3.44949… ≤ a ≤ 3.56994… のとき」節での「周期倍化カスケードの過程では、f m と f 2m は適当なスケール変換によって局所的に全く一致する性質を持つ」のことです。「メイの研究以後」節の表現を「分岐値が等比級数的に収束するスケーリングの法則」にし、前の説明とのつながりがもう少し分かるようにしてみました。
  • 6の「董, 2012の取り扱い」について、おっしゃるように学位論文は取り扱い要注意であるというのは共通認識です。しかし、可能ならばより高信頼性の資料に置き換えたほうがいいものの、今の記事の董2012の出典としての使い方はen:WP:SCHOLARSHIPなどのガイドラインに抵触しておらず、ただちに修正や除去をしないといけないレベルの問題はないとわたしは考えています。そもそも記事では（董2012にとっては失礼な話かもしれませんが）董2012が独自に出した結果や主張を使っておらず、董2012での研究背景説明（これまでに分かっていることを出典を使いながら説明している箇所）を記事では使っています。そのように二次資料的にしか利用していないこと、ディプロマミルのようなものではないちゃんとした大学を通った博士論文であること、その博士論文の著書はそのテーマのいっぱしの専門家とみなせることを合わせると、ひとまず現状ままでもOKだというのがわたしの判断です。今の記事で董2012を使用している箇所について、私が把握できている範囲内では別の出典への置き換えは困難なので、董2012不使用になると記述をバッサリ無くさないといけなくなる箇所も出てきます。
--Yapparina（会話） 2022年7月9日 (土) 04:45 (UTC)[返信]
修正とコメントありがとうございまいます。3については承知しました。これで十分と思います。6についてはもう少し考えたいので改めてコメントします。--Karasunoko（会話） 2022年7月11日 (月) 06:36 (UTC)[返信]
6.について改めてコメントします。まず、乱数生成についてはある程度の数の文献が存在している様ですし、その課題についても記載が必要かと思います。従って内容としては現状から大幅な変更は望ましくないと思います。その上で、董, 2012の該当部分は(1)3,4章と異なり学術雑誌に公刊済の内容ではない、(2)出典を伴っているわけでもなく、著者独自の研究内容と捉えられ得る、(3)先述の通り学位論文の取り扱いには注意が必要である、といった性質を持っており、できれば差し替えなどを検討したいと感じました。該当部分の内容は
  • ロジスティック写像の数列はコンピューターで計算すると周期的になってしまう
  • 計算途中で不動点に収束してしまうこともある
といった点について説明しているものと理解しました。素人なりに調べたところ、代わりになりそうな文献を発見？しました(doi:10.1016/j.chaos.2011.12.006)。読んでみると表1では4ビットの場合にどのような挙動を示すか実際に計算されており、また単精度浮動小数点数の場合にどの様な周期になるかも表2に示されています。表現の修正が必要かもわかりませんが、こちらの文献を軸に書き換えてみるのはいかがでしょうか。（一応重ねて申し上げますが、そうしなければダメという訳ではありません。）--Karasunoko（会話） 2022年7月16日 (土) 04:47 (UTC)[返信]
（補足）上で示した文献はサブスクが必要なジャーナルのものですが、著者のセルフアーカイブがあります。リンクは貼りませんが、参考までに。--Karasunoko（会話） 2022年7月16日 (土) 04:50 (UTC)[返信]
Karasunokoさんとしては改めてできるだけ 董 2012 を差し替えしたいことについて了解しました。提示いただいた Persohn & Povinelli (2012) と手持ちの文献を組み合わせ、少し文面を調整した上で、ご指摘の箇所を中心にできるだけ 董 2012 の使用を無くしました（Persohn & Povinelli (2012) 確認はエルゼビアのサイトからPPVです）。董 2012 は1947年のウラムとノイマンに係る簡単な説明文についてだけ使用を残しています。-Yapparina（会話） 2022年7月17日 (日) 13:49 (UTC)[返信]
賛成 しつこく&細かく要求を重ねて申し訳ないです。しかしこれで私としては懸念材料も無くなりましたので、改めて賛成とさせていただきます。度重なる改訂ありがとうございました。--Karasunoko（会話） 2022年7月18日 (月) 03:31 (UTC)[返信]

賛成 定義やグラフの書き方だけでなく、定数の値の変化による写像の変化や他分野への応用について非常によく書かれています。ただ一つ気になった点として、トランスクリティカル分岐をはじめとした、このページがリンクしているページにかなり記述が足りていないものがあることです。この記事では専門的な内容もあるので、内容を知らない人にとっては、用語の意味を調べたい人もいると思います。そのため、可能でしたらこのページをより分かりやすいものにするために、このページがリンクしている他のページの充実もしたほうが良いと思います。--山形祐介（会話） 2022年7月23日 (土) 10:35 (UTC)[返信]

選出条件1週間継続のため選考通過となります。--Yapparina（会話） 2022年7月30日 (土) 11:35 (UTC)[返信]

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