club集合

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club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味でであり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。

正式な定義[編集]

正式には、\kappa を極限順序数として、C\subset\kappa\kappa の中でであるということは、任意の \alpha<\kappa に対して、「 \sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0 ならば \alpha\in C」となることである。従って、C の中の点列の極限が \kappa 未満であればそれは C に属する。

\kappa を極限順序数として、C\subset\kappa\kappa の中で非有界であるということは、任意の \alpha<\kappa に対して、\alpha<\beta なる \beta\in C が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は \omega_1 の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 \kappa に対して、\kappa 未満の極限順序数全てによる集合は \kappa 内でclubである。

clubフィルター[編集]

\kappa \,共終数 \lambda \, の極限順序数とする。ある \alpha < \lambda \, に対して、列 \langle C_\xi : \xi < \alpha\rangle \,\kappa \, のclub集合の列であったとする。このとき、\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

\beta_0 <\kappa \, を任意にとる。ある n<\omega に対して  \beta_{n} が存在するとき、C_\xi \, から \beta_{n+1}^\xi > \beta_{n} \, となるように、\beta_{n+1}^\xi をとる。これは各 C_\xi \, が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 \lambda \, 未満の長さであり、この集合の上限は \kappa \, 未満である。そこで、これを \beta_{n+1} \, と定める。この方法により、可算列 \beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots \, を得る。

この列の極限は \beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots \, の極限でもある。そして各 C_\xi \, は閉で \lambda \, が非可算なので、この極限は各 C_\xi \, の元であるべきで、これは \beta_0 < \kappa \, より真に大きい \bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, の元である。これで \bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \, が非有界であることが示された。このことから、\kappa \, が正則基数であるとき \{S \subset \kappa : \exists C \subset S \text{ such that } C \text{ is club in } \kappa\} \, は非自明な \kappa \, 上の \kappa \, -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、\operatorname{club}(\kappa) と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、\kappa\in\operatorname{club}(\kappa) である( \kappa 自身は \kappa のclub集合である)。x\in\operatorname{club}(\kappa) ならば、x部分集合としてもつ \kappa の部分集合はやはり \operatorname{club}(\kappa) の元である。 \kappa -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

\operatorname{club}(\kappa)対角線共通部分について閉じていることを確認する。\langle C_i | i<\kappa \rangle をclub集合の列とする。C をその対角線共通部分すなわち C=\Delta_{i<\kappa} C_i とする。 C が閉であることを示す。S \subset C かつ S \subset \alpha<\kappa かつ \bigcup S=\alpha とする。このとき、\gamma\in S とすると、各 \beta<\gamma に対して、\gamma\in C_\beta である。各 \beta<\alpha について、\alpha\in C_\beta である。従って、\alpha\in C である。よって、閉集合であることは示された。C が非有界であることを示す。\alpha<\kappa として、可算列 \langle  \xi_i | i<\omega \rangle を以下のように定義する: \xi_0=\alpha とし、 \xi_{i+1} を、\xi_{i+1}>\xi_i なるうちでの \bigcap_{\gamma<\xi_i}C_\gamma の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして \xi=\bigcup_{i<\omega}\xi_i>\alpha かつ \xi\in C である。それは、全ての i<\xi について、その要素が C_i の元だからである。よって、C は非有界である。

\kappa \, が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、\kappa \, が正則で \mathcal{F} \,\kappa \,, 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて \{\xi < \kappa : \xi \geq \alpha\} \, (ただし \alpha < \kappa \, )の形の集合を全て要素に持つとすると \mathcal{F} \, は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目[編集]

参考文献[編集]