Club集合

数学、特に数理論理学と集合論において、club(クラブ)集合(あるいは閉非有界集合)とは、極限順序数の部分集合で、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界であるもののこと。

clubという名前はclosed(閉)とunbounded(非有界)の合成による。

正式な定義

正式には、$\kappa$を極限順序数として、$C\subset\kappa$が$\kappa$の中で閉であるというこ とは、任意の$\alpha<\kappa$に対して、「$\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0$ならば$\alpha\in C$」 となることである。従って、$C$の中の点列の極限が$\kappa$未満であればそれは$C$に属する。 $\kappa$を極限順序数として、$C\subset\kappa$が$\kappa$の中で非有界であるということは 、任意の$\alpha<\kappa$に対して、$\alpha<\beta$なる$\beta\in C$が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。 例として、可算極限順序数全てによる集合は$\omega_1$の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中では clubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数$\kappa$に対して、$\kappa$未満の極限順序数全てによる集合は$\kappa$内でclubである。

clubフィルター

$\kappa \,$を共終数$\lambda \,$の極限順序数とする。ある$\alpha < \lambda \,$に対して、 列$\langle C_\xi : \xi < \alpha\rangle \,$が$\kappa \,$のclub集合の列であったとする。このとき、 $\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,$もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。 $\beta_0 <\kappa \,$を任意にとる。ある$n<\omega$に対して $\beta_{n}$が存在するとき、$C_\xi \,$から$\beta_{n+1}^\xi > \beta_{n} \,$となるように、$\beta_{n+1}^\xi$をとる。これは各$C_\xi \,$が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数$\lambda \,$未満の長さであり、この集合の上限は$\kappa \,$未満である。 そこで、これを$\beta_{n+1} \,$と定める。この方法により、可算列$\beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots \,$を得る。 この列の極限は$\beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots \,$の極限でもある。そして各$C_\xi \,$は閉で$\lambda \,$が非可算なので、この極限は各$C_\xi \,$の元であるべきで、これは$\beta_0 < \kappa \,$より真に大きい$\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,$の元である。これで$\bigcap_{\xi < \alpha} C_\xi \,$が非有界であることが示された。このことから、$\kappa \,$が正則基数であるとき$\{S \subset \kappa : \exists C \subset S \text{ such that } C \text{ is club in } \kappa\} \,$は非自明な$\kappa \,$上の$\kappa \,$-完備フィルターである。これをclubフィルターといい、$\operatorname{club}(\kappa)$と表す。clubフィルターは対角線共通部分(diagonal intersection)について閉じている。

これがフィルターであることを見る。 まず、$\kappa\in\operatorname{club}(\kappa)$である($\kappa$自身は$\kappa$のclub集合である)。$x\in\operatorname{club}(\kappa)$ ならば、$x$を部分集合としてもつ$\kappa$の部分集合はやはり $\operatorname{club}(\kappa)$の元である。$\kappa$-完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。 $\operatorname{club}(\kappa)$が対角線共通部分について閉じていることを確認する。$\langle C_i | i<\kappa \rangle$をclub集合の列とする。$C$をその対角線共通部分すなわち$C=\Delta_{i<\kappa} C_i$とする。 $C$が閉であることを示す。$S \subset C$かつ$S \subset \alpha<\kappa$かつ$\bigcup S=\alpha$とする。このとき、$\gamma\in S$とすると、各$\beta<\gamma$に対して、$\gamma\in C_\beta$である。各$\beta<\alpha$について、$\alpha\in C_\beta$である。従って、 $\alpha\in C$である。よって、閉集合であることは示された。$C$が非有界であることを示す。$\alpha<\kappa$として、可算列$\langle \xi_i | i<\omega \rangle$を以下のように定義する:$\xi_0=\alpha$とし、 $\xi_{i+1}$を、$\xi_{i+1}>\xi_i$なるうちでの$\bigcap_{\gamma<\xi_i}C_\gamma$の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして$\xi=\bigcup_{i<\omega}\xi_i>\alpha$かつ$\xi\in C$である。それは、全ての$i<\xi$について、その要素が$C_i$の元だからである。よって、$C$は非有界である。

$\kappa \,$が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。 さらに言えば、$\kappa \,$が正則で$\mathcal{F} \,$を$\kappa \,,$上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて$\{\xi < \kappa : \xi \geq \alpha\} \,$(ただし$\alpha < \kappa \,$)の形の集合を全て要素に持つとすると $\mathcal{F} \,$は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目

• 定常集合

参考文献

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

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• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-

486-42079-5

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