定常集合

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数学、特に集合論モデル理論において定常集合(ていじょうしゅうごう、: stationary set)という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:

古典的な意味付け[編集]

 \kappa \,が非可算な共終数を持つ基数である。 S \subset \kappa \, \kappa \,の いかなるclub集合とも交わるとき、 S \, \kappa \,内の定常集合という。 定常でない集合は非定常集合という。

 S \,が定常で C \,がclubなら、その共通部分 S \cap C \,はまた定常である。 それは、 D \,をclub集合とすると C \cap D \,はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、  (S \cap C) \cap D = S \cap (C  \cap D) \,は空でない集合となる。 ゆえに、 (S \cap C) \,は定常である。

非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。\kappaの共終数が可算であったとして、 S\subset\kappa\kappa内で定常であるのは\kappa\setminus S\kappa内で有界であることと同値である。 特に、\kappaの共終数が \omega=\aleph_0であるなら任意の二つの\kappaの定常集合の共通部分は定常である。

これは\kappaの共終数が非可算なときは起こらない。 実際、\kappa正則基数S\subset\kappaをその中の定常集合とすると、S\kappa個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ英語版によるもので、\kappa後続型基数のとき、 このことはスタニスワフ・ウラムによって、 いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。

イェフによる意味付け[編集]

[X]^\lambdaの部分集合にも定常集合の概念は定義される。 ここで、[X]^\lambda[X]^\lambda=\{Y\subset X:|Y|=\lambda\}のことである。 S\subset[X]^\lambdaが定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。 [X]^\lambdaの部分集合がclubであるとは、\subsetの下で非有界かつ、 \lambda以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。 この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、X=\omega_1 ,\lambda=\aleph_0とすると S\subset[\omega_1]^\omegaが定常であることと、 S\cap\omega_1\omega_1の中で定常であることは一致する。

フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。

一般化された意味付け[編集]

三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。 この概念はM. Magidor英語版, M. Foreman英語版, サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。

XXを空でない集合とする。C\subset{\mathcal P}(X)がclubであるとは、 関数F:[X]^{<\omega}\to XC=\{z:F[[z]^{<\omega}]\subset z\}を満たすものが存在することを言う。 ここで[y]^{<\omega}yの有限部分集合全体による集合のことである。

S\subset{\mathcal P}(X){\mathcal P}(X)で定常であるとは、Sが{\mathcal P}(X)の全てのclub集合と交わることを言う。

モデル理論との関連を見る。Mを対象領域をXとする可算な言語上のストラクチャー、 FMへのスコーレム関数であるとすると、定常集合SMの初等部分構造をもつ。 実際、S\subset{\mathcal P}(X)が定常であることは、任意のこのようなストラクチャーMに対して、Mの初等部分構造がSに属することと同値である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS

Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 File at [1]

外部リンク[編集]