arg max

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数学において, arg max (もしくは argmax) はargument of the maximumを意味する。つまり、関数値が最大となるような定義域の元の集合である。対象となる関数が多変数関数或いは媒介変数を持つ場合には、変数の幾つかを固定してもよい。式で書くと次のようになる:

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) := \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\}

最大値Mを用いると、次のようにレベル集合としても表現できる。

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = f^{-1}(M) = \{x\ |\ f(x) = M \}

一般に関数が最大値を有するとは限らないので、arg maxも定義できるとは限らない。但し、最大値・最小値の定理によって(もしくはコンパクト空間の基礎的な定理によって)、コンパクト区間においては連続な関数について最大値が存在し、arg maxも定義できることが保証される[1]

arg min (もしくは argmin) も最小値に関して同様に定義される.

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最大値を取るのが一点の場合は{0}のように単集合を指すのではなく、値そのものを指すことが多い。

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = 0

\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5

複数の点で最大値を取る場合は集合で表す。

\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}

\underset{x \in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots \}

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ 有界閉とコンパクト 東京大学基礎数理の授業の講義資料。コンパクト空間の基礎的な定理によってコンパクト集合ならば有界閉集合になることを示している。