正形式

複素幾何学では、正形式(positive form)とは、ホッジタイプ (p, p) の実形式である。

(1,1)-形式

複素多様体 M 上の実 (p,p)-形式は、タイプ (p,p) の実形式、つまり、交叉

$\Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R}})$

を持つ形式である。実 (1,1)-形式 $\omega$ は正ということと、次の同値な条件が満たされることとは同値である。

1. ${\sqrt {-1}}\omega$ は正（必ずしも正定値である必要はない）の虚部を持つエルミート形式である。
2. (1,0)-形式の空間 $\Lambda ^{1,0}M$ のある基底 $dz_{1},...dz_{n}$ に対し、${\sqrt {-1}}\omega$ は対角行列の形、非負な $\alpha _{i}$ をもつ実形式 ${\sqrt {-1}}\omega =\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i}$ と書くことができる。
3. 任意の (1,0) 接ベクトル $v\in T^{1,0}M$ に対し、$-{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0$
4. $I:\;TM\mapsto TM$ を複素構造を決める作用素とすると、任意の実接ベクトル $v\in TM$ に対し、$\omega (v,I(v))\geq 0$ である。

正のラインバンドル

代数幾何学では、正の (1,1)-形式は、豊富なラインバンドルの曲率形式として現れる（また、正のラインバンドルとして知られている）。L を複素多様体上の正則なエルミートラインバンドルとすると、

${\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)$

は、複素多様体自身の複素構造を決める作用素である。従って、L は、エルミート構造を保存し、同時に、

$\nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}$

を満たす一意な接続を持つ。

この接続をチャーン接続という。

チャーン接続の曲率 $\Theta$ は、常に、純虚数 (1,1)-形式である。ラインバンドル L は、

${\sqrt {-1}}\Theta$

が、正定値 (1,1)-形式であるとき、正であると呼ぶ。小平埋め込み定理は正のラインバンドルは豊富であり、逆に、任意の豊富なラインバンドルは ${\sqrt {-1}}\Theta$ が正定値なエルミート計量を持つことを言っている。

(p, p)-形式の正値性

M 上の純 (1,1)-形式は、凸錐(convex cone)を形成する。M が次元 $dim_{\mathbb {C}}M=2$ のコンパクトな複素曲面でれば、ポアンカレ双対

$\eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta$

を考えると自己双対である凸錐(self-dual)を持っている。

$2\leq p\leq dim_{\mathbb {C}}M-2$ のとき (p, p)-形式に対し、正値性に関して 2つの異なった考え方がある。正の実係数を持つ正形式の積の線型結合であるときは、強い正値性を持つといわれる。n-次元複素多様体 M 上の実 (p, p)-形式 $\eta$ は、コンパクトな台を持ち、強い正値性を持つすべての (n-p,n-p)-形式 ζ に対し、 $\int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0$ であるときに、弱い正値性を持つといわれる。

弱い正値性と強い正値性は、凸錐を作る。コンパクトな多様体上では、これらの錐はポアンカレのペアについて自己双対(dual)である。

参考文献

• Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Wiley. ISBN 0-471-32792-1

• J.-P. Demailly, L² vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994).