断熱的到達可能性

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断熱的到達可能性(Adiabatic accessibility)とは、熱力学における概念の一つ。

概要[編集]

エリオット・リーブとヤコブ・イングヴァソンは次のような要請を熱力学の出発点においた。

「断熱・断物の壁で囲まれた系の任意の2つの平衡状態X , Yについて、XからYへの状態変化が力学的仕事だけで起こせるか否かが定まっている。」

つまり「状態たちの間に1本の序列が付けられる」ということである。もちろんこれだけでは熱力学の要請としては足りないので、他にも幾つかの要請をおく。そうすると、任意の状態について、その大小がこの序列の順番を決めるような、ある相加的な量が(定数倍などのつまらない不定性を除いて実質的に)一意的に定義できることが示せる。それがエントロピーになる。[1]

定義[編集]

平衡状態Yが別の平衡状態Xから断熱操作によって到達可能である場合、X \prec Yと書く。

\precについての要請[編集]

  • 反射則: どのようなXについてもX \prec X
  • 推移則: X \prec YかつY \prec ZならばX \prec Z
  • 状態の複合との一貫性: X \prec X'かつY \prec Y'ならば(X,Y) \prec (X',Y')
  • スケール不変性: X \prec Yならば\lambda X \prec \lambda Y
  • 分裂と再結合:0 < \lambda < 1について X \prec ((1-\lambda)X,\lambda X) であり  ((1-\lambda)X,\lambda X) \prec X である
  • 安定性: もしいくらでも小さい\epsilon > 0について (X,\epsilon Z_0) \prec (Y,\epsilon Z_1)ならばX \prec Y

この要請の中には、「熱」や「可逆機関」などの概念が含まれていない。さらに温度の概念さえ必要ない。しかしエントロピーを定義するにはまだ足りず、以下の比較仮説が必要である。 [2]

比較仮説[編集]

2つの状態X , Yについて、 X \prec YY \prec Xの少なくともどちらか一方は成り立つ。これを比較仮説という。[3]

この比較仮説は、X \prec Yを満たす(X,Y)の一覧表が十分に長いことを保証してくれる。逆にこの比較仮説がないと、エントロピー関数によって記述されない状態の一覧表も出てくる。[2]

エントロピーの構成[編集]

 X\prec Y の時かつその時に限り、エントロピーは S(X)\leq S(Y)という性質を持つ。またX \overset{\underset{\mathrm{A}}{}}{\sim} Yの時かつその時に限り、S(X)= S(Y)という性質を持つ。これは熱力学第二法則に対応している。 X_0 \prec X_1を満たす2つの状態X_0X_1を選び、それぞれのエントロピーを0と1とした場合、X_0 \prec X \prec X_1をみたす状態X のエントロピーは次のように定義される。 [4]

S(X) = \sup (\lambda : ((1-\lambda)X_0, \lambda X_1) \prec X)

参考文献[編集]

  1. ^ *清水明 『熱力学の基礎』 東大出版会2007年ISBN 978-4-13-062609-5
  2. ^ a b エリオット・リーブ, ヤコブ・イングヴァソン:「エントロピー再考」,田崎晴明訳,「パリティ」,丸善, Vol.16, No.08, pp.4-12, (2001)
  3. ^ 佐々真一「熱力学の論理と動的システム」物性研究 (2002), 78(6): 672-676
  4. ^ Lieb, Elliott H.; Yngvason, Jakob (2003). “The Mathematical Structure of the Second Law of Thermodynamics”. arXiv. doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9. http://arxiv.org/abs/math-ph/0204007 2012年11月7日閲覧。.