マーラーの定理

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数学において、Kurt Mahler (1958) によって導入されたマーラーの定理(マーラーのていり、: Mahler's theorem)とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。

次の結果は任意のにおいて成立する。今、前進差分作用素

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,

と定める。このとき、多項式関数 f に対して、次のニュートン級数が得られる:

f(x)=\sum_{k=0}^\infty (\Delta^k f)(0){x \choose k}.

ただし

{x \choose k}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}

k 番目の二項係数多項式である。

実数体上では、関数 f が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる連続性の仮定のみでは上の等式は成り立たない。

マーラーの定理では、fp-進整数上の連続な p-進値関数であるなら、その等式が成り立つと述べられている。

上述の作用素 Δ と多項式列との関係は、微分と xkk 番目の項とする数列との関係と似ている。

驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、複素数体上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特にカールソンの定理英語版の成立が必要となる。

f標数 0 の任意の内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。

参考文献[編集]