チェバの定理

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チェバの定理(ちぇばのていり、Ceva's theorem)とは、幾何学定理の1つである。1678年にジョバンニ・チェバが証明した。

ステートメント[編集]

任意の点Oと三角形ABCにおいて、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

Ceva's theorum.png

なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

証明の方針[編集]

証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。

  • 三角形の面積比に置き換える。すなわち、定理の左辺を:{\triangle OAF \over \triangle OFB} \cdot {\triangle OBD \over \triangle ODC} \cdot {\triangle OCE \over \triangle OEA}と読みかえれば、これは:{\triangle OCA \over \triangle OBC} \cdot {\triangle OAB \over \triangle OCA} \cdot {\triangle OBC \over \triangle OAB}である。

[編集]

チェバの定理のもまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。

  • 「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。

関連項目[編集]