メネラウスの定理

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メネラウスの定理(めねらうすのていり、: Menelaus' theorem)とは、幾何学定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。

定理[編集]

Meneraus' theorum.png

任意の直線l三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。

証明の方針[編集]

証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。

証明1[編集]

ABに並行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から

\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\quad\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|

が成り立つ。これらの式を組み合わせれば定理が導かれる。

証明2[編集]

ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。

証明3[編集]

直線ADと直線BEの交点をGとすると


{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} \cdot \vartriangle AED
= {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot \vartriangle CED
={AF \over FB} \cdot \vartriangle BDE
= \vartriangle AED

△AED≠0より


{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

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メネラウスの定理はも成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、

{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。

関連項目[編集]