メネラウスの定理

メネラウスの定理（めねらうすのていり、Menelaus' theorem）とは、幾何学の定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。

ステートメント

任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C,CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。

${AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1$

証明の方針

証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。

証明1） ABに並行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。 相似から，

$\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\,\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|$

この式を代入する。

証明2）

• ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。

証明3) 直線ADと直線BEの交点をGとすると

${AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} \cdot \vartriangle AED = {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot \vartriangle CED ={AF \over FB} \cdot \vartriangle BDE = \vartriangle AED$

△AED≠0より

${AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1$

逆

メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、

${AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1$

が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。

関連項目

• チェバの定理