シグマモデル

物理学では、シグマモデル(sigma model)は次の形のラグラジアン密度(Lagrangian density)を記述する物理系である。

${\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}$

g_ijの中のスカラーとは独立に、この系は線型シグマモデルか、もしくは非線型シグマモデル(non-linear sigma model)である。一般に、場 φ_i はワールドシートと呼ばれる基礎となる多様体から、対象空間としての内部対称性により高いに関連付けられたスカラーの（リーマン）多様体への写像をもたらす。（しかし、弦理論では、実際の時空であると解釈されていることがよくある。）

シグマモデルは、Gell-Mann & Lévy (1960, section 5) により導入された。名前のσ-model は、シュウィンガー(Schwinger)により早くに導入されていたスカラーが、σ と呼ばれるスピンを持たないメソンに対応するモデルの中の場に由来しているからである。モデルは、O(4) から O(3) への自発的対称性の破れを主要に統制するプロトタイプとなっている。3つの軸性生成子の破れは、アイソスピンを表す破れないで残っている O(3) のある最も単純なカイラル対称性の破れ(chiral symmetry breaking)の記述となっている。

基本的な例は、1次元の場の量子論である量子力学によりもたらされる。このシグマモデルは、基礎となる多様体は時間（区間、または円など）を実数の線型パラメータ化しており、対象空間は実数の直線である。

トーション(torsion)項を持ってる場合の議論は、さらに興味深いWZWモデルを提供する。

参考文献

• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), “The axial vector current in beta decay”, Il Nuovo Cimento 16: 705–726, doi:10.1007/BF02859738