リー・トロッター積公式

リー・トロッター積公式 (リー・トロッターせきこうしき、英：Lie–Trotter product formula または Lie product formula) は、数学におけるリー群に関連した定理の一つであり、A 、B を任意の正方行列とする場合、次の式が成立することを主張する。

$e^{A+B}=\lim _{N\rightarrow \infty }(e^{A/N}e^{B/N})^{N}$

ここで e ^A は行列指数関数による A の像を表す。この公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

$e^{x+y}=e^{x}e^{y}\$

この式は、 x 、y が任意の実数または複素数の場合に成立する。もし、 x 、 y が行列 A 、 Bで置き変えられ、指数関数が行列指数関数で置き変えられた場合には、この規則が成立するためには、一般に A と B が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、A と B が可換でない場合も成立する。もっと一般的には、A 、 B を行列に限定せず、あるクラスに属する (つまりある条件を満たす) 線形作用素としてもこの公式は成立する。

この公式は、例えば、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレディンガー発展作用素 (つまりハミルトニアン) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

参考資料

• Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction, Lecture Notes in Mathematics, 423 (1st ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079827, ISBN 978-3-540-07785-5 .
• 大貫義郎・柏太郎・鈴木増雄　『経路積分の方法』、岩波書店〈現代物理学叢書〉、2000年。