リー・トロッター積公式

リー・トロッター積公式 (リー・トロッターせきこうしき、英：Lie–Trotter product formula または Lie product formula) は、数学におけるリー群に関連した定理の一つである。

定理

A 、B を任意の正方行列、N を自然数とする場合、次の式が成立する。

$e^{A+B} = \lim_{N \rightarrow \infty} (e^{A/N}e^{B/N})^N$

ここで e ^A は行列指数関数による A の像であり、次の式により定義される。

$e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k$

ただし、$A^ 0 = I$ (単位行列)である。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

$e^{x+y} = e^{x}e^{y} \$

この式は、 x 、y が任意の実数または複素数の場合に成立する。もし、 x 、 y が行列 A 、 Bで置き変えられ、指数関数が行列指数関数で置き変えられた場合には、この規則が成立するためには、一般に A と B が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、A と B が可換でない場合も成立する。

もっと一般的には、A 、 B を行列に限定せず、任意のノルム空間V上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ここで、ノルム空間V 上の線形作用素A のノルム $\|A\|$ とは次の式で定義される実数である。

$\|A\| = \sup_{x\in V} \frac{\|A x\|}{\|x\|}$

証明 (n次正方行列の場合)

文献 による。次の補題を用いる。

補題

A 、B を任意のn次正方行列、t を任意の実数とすると次の関係が成り立つ。

$e^{tA}e^{tB} = e^{t(A+B)+(t^2/2)[A,B] + O(t^3)}$

ただし、$O ( ) \$ はランダウの記号である。

補題の証明

$e^{tA}$ および $e^{ tB}$ の定義式から、$\{C_k\}_{0\le k\le \infty}$ を適当な n次正方行列の可算列として、

$e^{tA}e^{tB} = \sum_{k=0}^\infty t^k C_k$

と表現できる。この式の両辺で t = 0 とおけば、 $I = C_0$ が出る。両辺を t で1回微分し、 t = 0 とおけば、 $A + B = C_1$ となる。両辺を t で2回微分し、 t = 0 とおけば、$A^ 2 + 2AB + B^ 2 = 2C_2$となる。

一方、

$e^{t(A+B)+ t^2/2[A,B] + O(t^3)} \$

$= I + t(A+B) + t^2/2[A,B] + t^2/2(A+B)^2 + O(t^3) \$

$= I + t(A+B) + t^2/2(AB-BA) \$

$+ t^2/2(A^2+AB+BA+B^2) + O(t^3) \$

$= I + t(A+B) + (t^2/2)\cdot(A^ 2 + 2AB + B^ 2) + O(t^3) \$

であるから補題の式の両辺は一致する。

定理の証明

補題から 任意の 自然数 N について、次の式が成り立つ。

$e^{A/N}e^{B/N} = e^{1/N(A+B)+1/(2N^2)[A,B] + O(1/N^3)}$

従って、

$(e^{A/N}e^{B/N})^N = ( I + 1/N(A+B)+1/(2N^2)[A,B] + O(1/N^3) \ )^N \$

$= ( I + (A+B) + 1/2(A+B)^2 + \cdots + 1/k!(A+B)^k + \cdots\$

$+ 1/(2N)[A,B] + O(1/N^2) \ ) \$

$\lim_{N \rightarrow \infty}$とすれば右辺は、$e^{A+B} \$ と一致する。

応用

この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている。同様のアイデアは微分方程式の数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

参考文献

• Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction, Lecture Notes in Mathematics, 423 (1st ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079827, ISBN 978-3-540-07785-5 .