リー・トロッター積公式

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リー・トロッター積公式 (リー・トロッターせきこうしき、英:Lie–Trotter product formula または Lie product formula) は、数学におけるリー群に関連した定理の一つである。

定理[編集]

AB を任意の正方行列N自然数とする場合、次の式が成立する。

e^{A+B} = \lim_{N \rightarrow \infty} (e^{A/N}e^{B/N})^N

ここで e A は行列指数関数による A の像であり、次の式により定義される。

e^{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k

ただし、A^ 0 = I (単位行列)である。

リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。

e^{x+y} = e^{x}e^{y} \

この式は、 xy が任意の実数または複素数の場合に成立する。もし、 xy が行列 ABで置き変えられ、指数関数が行列指数関数で置き変えられた場合には、この規則が成立するためには、一般に AB可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、AB が可換でない場合も成立する。

もっと一般的には、AB を行列に限定せず、任意のノルム空間V上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ここで、ノルム空間V 上の線形作用素A のノルム \|A\| とは次の式で定義される実数である。

\|A\| = \sup_{x\in V} \frac{\|A x\|}{\|x\|}

証明 (n次正方行列の場合)[編集]

文献[1] による。次の補題を用いる。

補題[編集]

AB を任意のn次正方行列、t を任意の実数とすると次の関係が成り立つ。

e^{tA}e^{tB} = e^{t(A+B)+(t^2/2)[A,B] + O(t^3)}

ただし、O ( ) \ ランダウの記号である。

補題の証明[編集]

e^{tA} および e^{ tB} の定義式から、\{C_k\}_{0\le k\le \infty} を適当な n次正方行列の可算列として、

e^{tA}e^{tB} = \sum_{k=0}^\infty t^k C_k

と表現できる。この式の両辺で t = 0 とおけば、 I = C_0 が出る。両辺を t で1回微分し、 t = 0 とおけば、 A + B = C_1 となる。両辺を t で2回微分し、 t = 0 とおけば、A^ 2 + 2AB + B^ 2 = 2C_2となる。

一方、

 e^{t(A+B)+ t^2/2[A,B] + O(t^3)} \
 = I + t(A+B) + t^2/2[A,B] + t^2/2(A+B)^2 + O(t^3) \
 = I + t(A+B) + t^2/2(AB-BA) \
 + t^2/2(A^2+AB+BA+B^2) + O(t^3) \
 = I + t(A+B) + (t^2/2)\cdot(A^ 2 + 2AB + B^ 2) + O(t^3) \

であるから補題の式の両辺は一致する。

定理の証明[編集]

補題から 任意の 自然数 N について、次の式が成り立つ。

e^{A/N}e^{B/N} = e^{1/N(A+B)+1/(2N^2)[A,B] + O(1/N^3)}

従って、

(e^{A/N}e^{B/N})^N = ( I + 1/N(A+B)+1/(2N^2)[A,B] + O(1/N^3) \ )^N \
= ( I + (A+B) +  1/2(A+B)^2 + \cdots + 1/k!(A+B)^k + \cdots\
 + 1/(2N)[A,B] + O(1/N^2) \ ) \

\lim_{N \rightarrow \infty}とすれば右辺は、 e^{A+B} \ と一致する。

応用[編集]

この公式は、量子力学における経路積分において応用されており、この公式によってシュレディンガー時間推進作用素 (そのジェネレーターがハミルトニアンである) を、運動エネルギー作用素 (の時間積分断片)とポテシャルエネルギー作用素 (の時間積分断片) の交互の積の列に分離することが可能になっている[2]。同様のアイデアは微分方程式数値解法における分割法 (離散化) を構築する上でも使われている。

脚注[編集]

  1. ^ 伊勢幹夫・竹内勝 『Lie 群 Ⅰ』、岩波書店〈岩波講座 基礎数学〉、1977年、pp20-22。
  2. ^ 大貫義郎・柏太郎・鈴木増雄 『経路積分の方法』、岩波書店〈現代物理学叢書〉、2000年。

参考文献[編集]

  • Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction, Lecture Notes in Mathematics, 423 (1st ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079827, ISBN 978-3-540-07785-5 .