カプレカー数

カプレカ数（カプレカすう、Kaprekar Number）とは、

1. 整数を2乗し、前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
2. すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。

定義1

整数を2乗し、前のn桁と後ろのn桁または(n+1)桁に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。

たとえば、297は、297² = 88209、88 + 209 = 297 となるので、カプレカ数である。

この定義でのカプレカ数は、小さなほうから 1、9、45、55、99、297、703、……となる。

定義2

すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。

この定義において、4桁のカプレカ数は6174である。最初の数として2005を取ったとき、

• 5200 - 0025 = 5175
• 7551 - 1557 = 5994
• 9954 - 4599 = 5355
• 5553 - 3555 = 1998
• 9981 - 1899 = 8082
• 8820 - 0288 = 8532
• 8532 - 2358 = 6174
• 7641 - 1467 = 6174

となり、6174に収束する。どのような4桁の数でも最終的に6174になることが確認されている。 同様に3桁で最初に 685を使った場合、 893を使った場合、

• 865 - 568 = 297　 983 - 389 = 594
• 972 - 279 = 693　 954 - 459 = 495
• 963 - 369 = 594　 954 - 459 = 495
• 954 - 459 = 495　
• 954 - 459 = 495

となり、495である。 ちなみにこの定義でのカプレカ数は全て9の倍数である。（証明は容易【ヒント:mod9で考えること】）

外部サイト

• MathWorld -- Kaprekar Number 第1の定義によるカプレカ数
• カプレカ数 第2の定義によるカプレカ数