ノルム (体論)

体論において、ノルム (norm) は、体の拡大（とくにガロア拡大などの代数拡大）に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。

定義

体の有限次元拡大 L / K に対し、L の元 α のノルム N_L/K(α) は以下のように定義される。

K の L を含む代数閉包 K^{^} を固定し、σ_i: L → K^{^} (1 ≤ i ≤ n) を K の元を固定する同型の全体とするとき

$N_{L/K}(\alpha ):=\sigma _{1}(\alpha )\cdots \sigma _{n}(\alpha ).$

例

L を複素数体 C, K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = a + ibに対して

$N_{\mathbb {C/R} }(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=|\alpha |^{2}=a^{2}+b^{2}$

が拡大 C / R に関する α のノルムである。

性質

• 拡大 L / K について、L の任意の元 α に対し、N_L/K(α) は K の元になる。
• 拡大 L / K と L の元 α, β に対し
  • $N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )\cdot N_{L/K}(\beta ).$
• 拡大の列 L / M / K と L の元 α に対し
  • $N_{L/K}(\alpha )=N_{L/M}(\alpha )\cdot N_{M/K}(\alpha ).$
• ヒルベルトの定理 90: 体の拡大 L / K が有限次巡回拡大でそのガロア群が σ で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
  1. N_L/K(α) = 1.
  2. α = β / σ(β) を満たす L の元 β が存在する。

一般化

有限群 G と G 上の加群 M に対して、写像

$N_{G}:M\to M;\,x\mapsto \sum _{g\in G}gx$

を G-加群 M のノルム写像という。x の "ノルム"

$\sum _{g\in G}gx$

は G の作用に対して不変である。すなわち、M の G-不変な元全体のなす部分加群を M^G とあらわすと Im(N_G) ⊂ M^G が成り立つ。

ガロア拡大 L / K に対して、乗法群 L^* をガロア群 G = Gal(L / K) 上の加群と見なすとノルム写像 N_G は拡大のノルム N_L/K となる。

関連項目

• トレース (体論)