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2012年5月20日 (日) 01:16時点における版

2の補数（にのほすう）は、2、ないし2のべき乗の補数、またそれによる負の値の表現法である。特に二進法で使われる。（数学的あるいは理論的には、三進法における減基数による補数、すなわち 3ⁿ-1 ＝ 2222....2222_(三進) による補数も「2の補数」であるが、まず使われることはない）

コンピュータの固定長整数型や、固定小数点数で、負の値を表現するためや加算器で減算をするために使われる。

頭の部分の1個以上の0を含む（正規化されていない）ある桁数の二進法で表現された数があるとき、その最上位ビット(MSB)よりひとつ上のビットが1で、残りが全て0であるような値（8ビットの整数であれば、100000000_(二進) ＝ 256）から、元の数を引いた数が2の補数である。MSBの重みが1であるような固定小数点表現の場合は特に「2」の補数となる。

例

-36（十進法）が、8ビットで、2の補数でどのように表されるかを例として示す。

二進法8ビットで、36は 00100100 である。

   100000000 （256）
-)  00100100 （36）
-------------
    11011100 （220）

したがって、2の補数による-36の表現は 11011100 （十進表現で220）である。

元の数（00100100）と求められた（11011100）の2つの数を足し合わせると、すべての桁が 0 になり、負数が求められていることがわかる（最上位桁からの桁上がりの 1 は無視する）。

別の求め方

「1の補数に1を加える」という方法もある。算術的に考えると、（たとえばこの例の場合）「256-36」という計算を「(255-36)+1」に分解している。

まず

00100100の各ビットを反転させる（1の補数を求める）と、
11011011

次に1を加えると、

   11011011
+)        1
------------
   11011100

得られた値は、上記の値と同じことが分かる。

1の補数

二進法における、減基数すなわち2ⁿ-1による補数を1の補数と言う。1の補数は、全ての桁が1である値から、元の値を引けば求まるが、各ビットの1を0に、0を1に、と反転させても求められる。

00100100（元の数）
11011011（1の補数）
11011100（2の補数）

負の数の値

2の補数で表現された負の数の値を考えるには、二進法の各桁の重みについて、最上位ビット（MSB）のみ符号が反転したものとして計算すれば良い。

たとえば 1101₂ は、符号無しの二進法であれば、2³ + 2² + 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13 であるが、2の補数表現による負の数であるとした場合は、-2³ + 2² + 2⁰ = -8 + 4 + 1 = -3 である。

1111 1111 1111 0001₂ のような、上位側に1が並んだ数の場合も同様にして求めてもよいが、正の数の時に、上位側の0を無視するように、1が連続する間は無視し、最後の1の重みを負として、そこから下位の桁について同様に計算してもよい。

1111 1111 1111 0001₂の場合、-16 + 1 で、-15 である。

十進法との対応

十進表記	4ビット整数表記
−8	1000
−7	1001
−6	1010
−5	1011
−4	1100
−3	1101
−2	1110
−1	1111
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111

@@ 38行目: / 38行目: @@
  11011100（2の補数）
-== 負の整数の見方 ==
+== 負の数の値 ==
+の補数で表現された負の数の値を考えるには、二進法の各桁の重みについて、最上位ビット（MSB）のみ符号が反転したものとして計算すれば良い。
-コンピュータにおいては、2の補数と符号ビットを使った方法で負の整数を表すことが多い。こうした方法での負の整数の見方を例をあげて説明する。
+たとえば 1101<sub>2</sub> は、符号無しの二進法であれば、2<sup>3</sup> + 2<sup>2</sup> + 2<sup>0</sup> = 8 + 4 + 1 = 13 であるが、2の補数表現による負の数であるとした場合は、'''-2<sup>3</sup>''' + 2<sup>2</sup> + 2<sup>0</sup> = '''-8''' + 4 + 1 = -3 である。
-ビットの整数型数値を考える。
-ここで、左端のビットを符号ビットとし、符号ビットが1なら負数とする。符号ビット以外の部分は、負の整数の場合、絶対値が2の補数で格納されていることとする。
+1111 1111 0001<sub>2</sub> のような、上位側に1が並んだ数の場合も同様にして求めてもよいが、正の数の時に、上位側の0を無視するように、1が連続する間は無視し、最後の1の重みを負として、そこから下位の桁について同様に計算してもよい。
-1111 1111 0001<sub>2</sub>は、どういう数値を表しているのだろうか？
-:左端の符号ビットより符号はマイナスとわかる。次に絶対値を求めることを考えればいい。
-(-)111 1111 1111 0001<sub>2</sub>
+1111 1111 0001<sub>2</sub>の場合、-16 + 1 で、-15 である。
-:絶対値部分は2の補数になっているので、2の補数を求める手順の逆をすればいい。まず、1を引くことにより1の補数にする。
-(-)111 1111 1111 0000<sub>2</sub>
-:ビット反転し、1の補数を元の数値にする。
-(-)000 0000 0000 1111<sub>2</sub>
-:これは10進の15。符号をつけて、結局、-15のこととわかる。
 == 十進法との対応 ==