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有限射

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

代数幾何学において、2つのアフィン多様体 の間の有限射(ゆうげんしゃ、: finite morphism)とは、稠密な正則写像であって、座標環に誘導される写像 が単射準同型でこれにより 整拡大になるもののことを言う[1]。この定義は準射影多様体英語版に対して次のように一般化できる。準射影多様体の間の正則写像 有限であるとは、任意の点 に対してあるアフィン近傍系 V が存在し、 がアフィンかつ が先ほどの意味で有限射になることを言う[2]

スキーム論での定義

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スキームの射 f: XY が有限射であるとは、Y があるアフィン・スキーム

による開被覆を持ち、各 i に対して

が開アフィン部分スキーム Spec Ai になり、fUi に制限した射から誘導される環準同型

により AiBi 上の有限生成加群になることを言う[3]。またこのとき、XY有限であると言う。

実際は、f が有限であることと、Y全ての開アフィン部分スキーム V = Spec B に対して X における V の逆像がアフィンスキーム Spec A で、環 A が有限生成 B 加群となることは同値である[4]

例えば、任意の k に対して は有限射である。これは、 加群としての同型 があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による A1 − 0 から A1 への射は有限ではない。ローラン多項式k[y, y−1] は k[y] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。

有限射の性質

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  • 2つの有限射の合成は有限射である。
  • 有限射 f: XY基底変換英語版は有限射である。つまり、g: Z → Y をスキームの任意の射とすると、自然な射 X ×Y ZZ 有限は有限射である。これは次の代数的な事実に対応している。AC を(可換)B 代数とし、AB 加群として有限生成とすると、テンソル積 AB CC 加群として有限生成である。実際、aiAB 加群としての生成元とすると、ai ⊗ 1 が AB CC 加群としての生成元になる。
  • 閉埋入英語版は有限である。閉埋入は、局所的に環 A と閉部分スキームに対応するイデアル I を用いて AA/I とかけるからである。
  • 有限射は閉である。したがって、有限射の基底変換は有限射であることに注意すると、有限射は固有である[4]。これは可換環論のコーエン・ザイデンベルクの上昇定理の帰結である。
  • 有限射のファイバーは有限集合である。したがって、有限射は準有限射である[4]。これは、体 k に対して任意の有限 k 代数はアルティン環であることから分かる。また、これと関連することとして、有限な全射 f: XY があると、XY は同じ次元を持つ。

有限型の射

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可換環の準同型 AB に対し、BA 代数として有限生成であるとき、B有限型(finite type)の A 代数と呼ばれる。BA 加群として有限生成であるとき、B有限(finite )A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x1, ..., xn] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は である。

スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 f: XY有限型(finite type)であるとは、Y のアフィン開部分スキームによる被覆 Vi = Spec Ai が存在して、f−1(Vi) が有限個のアフィン開部分スキーム Uij = Spec Bij によって被覆され、BijAi 代数として有限型であることを言う。またこのとき、XY有限型であると言う。

例えば、任意の自然数 n と体 k に対して、k 上の n 次元アフィン空間や n 次元射影空間は k 上(Spec k 上の意)有限型である。一方、n = 0 でない限り k 上有限ではない。より一般に、k 上の任意の準射影的スキーム英語版k 上有限型である。

ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 k 上有限型な全てのアフィン・スキーム X は、X と同じ次元 n を持つ k 上のアフィン空間 An への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム X は、X と同じ次元 n射影空間 Pn への全射な有限射を持つ。

関連項目

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脚注

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  1. ^ Shafarevich 2013, p. 60, Def. 1.1.
  2. ^ Shafarevich 2013, p. 62, Def. 1.2.
  3. ^ Hartshorne 1977, Section II.3.
  4. ^ a b c d Stacks Project, Tag 01WG, http://stacks.math.columbia.edu/tag/01WG .
  5. ^ Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4.
  6. ^ Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1.

参考文献

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外部リンク

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