春木の定理

春木の定理（はるきのていり、英: Haruki's theorem）とは、次の主張のことをいう。

定理 ― 三円が互いに二点で交わっている。このとき交点を結ぶ線分の長さ $a, b, c, x, y, z$ は

{\frac {abc}{xyz}}=1

を満たす。^[1]

証明

長さ $a, x$ の辺の交点を $A$ 、 $x, b$ の交点を $Z$ 、 $b, y$ の交点を $B$ 、 $y, c$ の交点を $X$ 、 $c, z$ の交点を $C$ 、 $z, a$ の交点を $Y$ とする。

この時 $AX, BY, CZ$ は一点で交わる（根心）。この点を $P$ とする。

$△APY$ と $△BPX$ で

∠APY = ∠BPX

　(対頂角)

∠PAY = ∠PBX

　(弦

XY

に対する円周角)

2角が各等しいので

△APY ∽ △BPX

同様に

△BPZ ∽ △CPY

△CPX ∽ △APZ

これより

\left\{{\begin{aligned}{\frac {a}{y}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}\\{\frac {b}{z}}&={\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}\\{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\end{aligned}}\right.

この3式を掛け合わせると

{\begin{aligned}{\frac {a}{y}}{\frac {b}{z}}{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}{\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}{\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\\&=1\end{aligned}}

が示される。