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春木の定理(はるきのていり、英: Haruki's theorem)とは、次の主張のことをいう。
定理 ―
三円が互いに二点で交わっている。このとき交点を結ぶ線分の長さ a, b, c, x, y, z は
![{\displaystyle {\frac {abc}{xyz}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bdfa60e17c9df9e5d31d9d01471c896be92db4)
を満たす。[1]
長さ a, x の辺の交点を A、x, b の交点を Z、b, y の交点を B、y, c の交点を X、c, z の交点を C、z, a の交点を Y とする。
この時 AX, BY, CZ は一点で交わる(根心)。この点を P とする。
△APY と △BPX で
- ∠APY = ∠BPX (対頂角)
- ∠PAY = ∠PBX (弦 XY に対する円周角)
2角が各等しいので
- △APY ∽ △BPX
同様に
- △BPZ ∽ △CPY
- △CPX ∽ △APZ
これより
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {a}{y}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}\\{\frac {b}{z}}&={\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}\\{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c62888075370df5d71430a854417557039af3c)
この3式を掛け合わせると
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{y}}{\frac {b}{z}}{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}{\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}{\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15de6b8bdc6c2b1c8a7b3320c00515aecb2b0559)
が示される。
関連項目[編集]
外部リンク[編集]
http://www.cut-the-knot.org/proofs/HarukiTheorem.shtml - 概要と証明