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数学 において、ボールウェイン積分 (英 : Borwein integral )は関数sinc(ax ) の積の積分 である。ただし、ここでsinc(x )はsinc関数 であり、0でないxに対しては sinc(x )=sin(x )/x とし、sinc(0)=1と定める[1] [2] 。2001年にデイヴィッド・ボールウェイン (英語版 ) とジョナサン・ボールウェイン (英語版 ) によって提示された。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
/
2
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
d
x
=
π
/
2
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
sin
(
x
/
5
)
x
/
5
d
x
=
π
/
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}}
このパターンは、次まで続く。
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
13
)
x
/
13
d
x
=
π
/
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2}
ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
15
)
x
/
15
d
x
=
467807924713440738696537864469
935615849440640907310521750000
π
=
π
2
−
6879714958723010531
935615849440640907310521750000
π
≃
π
2
−
2.31
×
10
−
11
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}}
一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。
より長い列の例を挙げる。
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
d
x
=
π
/
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2,}
だが、
∫
0
∞
2
cos
(
x
)
sin
(
x
)
x
sin
(
x
/
3
)
x
/
3
⋯
sin
(
x
/
111
)
x
/
111
sin
(
x
/
113
)
x
/
113
d
x
<
π
/
2
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,}
である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている[3] 。
数式処理システムMaximaによるプログラムの例[ 編集 ]
/* 上記の最初の例 */
f(n) := if n=1 then sin(x)/x else f(n-2) * (sin(x/n)/(x/n));
for n from 1 thru 15 step 2 do (
print("f(", n, ")=", f(n) ),
print("integral of f for n=", n, " is ", integrate(f(n), x, 0, inf))
);
/* 上記の二つ目の例 */
for n from 1 thru 19 step 2 do (
print("g(", n, ")=", 2*cos(x)*f(n) ),
print("integral of g for n=", n, " is ", integrate(2*cos(x)*f(n), x, 0, inf))
);
^ Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, The Ramanujan Journal 5 (1): 73?89, doi :10.1023/A:1011497229317 , ISSN 1382-4090 , MR 1829810
^ Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv :1105.3943v1 [math.NT ]。
^ Schmid, Hanspeter (2014), “Two curious integrals and a graphic proof” , Elemente der Mathematik 69 (1): 11–17, doi :10.4171/EM/239 , ISSN 0013-6018 , http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf