ディリクレエネルギー

数学におけるディリクレエネルギー（英: Dirichlet's energy）は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 $H 1$ 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。

定義

開集合 $Ω \subseteq R n$ と函数 $u : Ω \to R$ が与えられたとき、その函数 $u$ のディリクレエネルギーは次の実数で定義される：

E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,\mathrm {d} V.

ここで $\nabla u : Ω \to R n$ は函数 $u$ の勾配ベクトル場を表す。

ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 $u$ に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。

（適切な境界条件に対する）ラプラス方程式

-\Delta u(x)=0{\text{ for all }}x\in \Omega

を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 $u$ を探す変分問題を解くことと同値である。

そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。

Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729