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オイラー=ロトカの方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

オイラー゠ロトカの方程式(オイラー゠ロトカのほうていしき、: Euler-Lotka Equation)は、人口学生態学疫学等の分野において、世代間隔分布と指数成長率とを関連づける法則であり、年齢構造をもつ人口増加の研究分野では最も重要な関係式の1つである。ロトカオイラーの方程式またはロトカの特性方程式[1]と呼ばれることもある。

人口の増減やその年齢構成を統計的に扱う人口学の分野は、18世紀のレオンハルト・オイラーの初期の研究にその端緒を見ることができ、20世紀初頭に アルフレッド・J・ロトカにより大きく発展させられた。オイラー゠ロトカ方程式は、1760年に1つの離散時間形の式を導いたオイラー、 および、一般的に連続時間形の式を導いたロトカの研究にちなんでいる。その離散時間形の方程式は、(年を時間の単位として)次式で表される。

ここで、はその集団の個体数の1年間の成長率(人口の対前年比)、歳まで生存する個体の生存率、歳の個体が1年間で出生する子孫数を表す年齢別出生率である。はその集団の最高年齢であり、総和はその生体の全寿命にわたって行われるものとする。

導出

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ロトカのモデル

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A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する[2][3]

ある集団で年齢歳までの生存率を歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率をとし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻年の集団全体での年間子孫(女性)出生数をとする。このとき、時刻で年齢の母親の数はであり、それにを掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数となる(ロトカの積分方程式または再生方程式)。

ただし、はその集団の最高年齢である。

次に、集団全体の人口は指数関数的に増加(または減少)しているとして、の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、

つまり、

となる(連続時間形のロトカ゠オイラーの方程式)。

連続変数としての年齢を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。

単位時間ステップ(1年)の成長率 置き変えると、先に示した離散時間の方程式

が得られる。

参考文献

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  1. ^ 稲葉寿『数理人口学』東京大学出版会、2002年、p.29頁。ISBN 978-4130669016 
  2. ^ J. Wallinga and M. Lipsitch (2007). “How generation intervals shape the relationship between growth rates and reproductive numbers”. Proceedings of Royal Society B 274: 599-604. doi:10.1098/rspb.2006.3754. 
  3. ^ 山内庄司 (2020年6月11日). “世代間隔分布に基づいた成長率・再生産数間の関係について”. Sho-Yamaのホームページ. 2020年6月22日閲覧。

関連項目

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