Xorshift

Xorshiftは疑似乱数列生成法の1つである。George Marsagliaが2003年に提案した。演算が排他的論理和とビットシフトのみであるため高速であるなどの特徴がある。

実装例

XorshiftアルゴリズムのCによる実装例:

uint32_t xor(void) {
  static uint32_t y = 2463534242;
  y = y ^ (y << 13); y = y ^ (y >> 17);
  return y = y ^ (y << 5);
}

uint32_t xor64(void) {
  static uint64_t x = 88172645463325252ULL;
  x = x ^ (x << 13); x = x ^ (x >> 7);
  return x = x ^ (x << 17);
}

uint32_t xor96(void) {
  static uint32_t x = 123456789;
  static uint32_t y = 362436069;
  static uint32_t z = 521288629;
  uint32_t t;

  t = (x ^ (x << 3)) ^ (y ^ (y >> 19)) ^ (z ^ (z << 6));
  x = y; y = z;
  return z = t;
}

uint32_t xor128(void) { 
  static uint32_t x = 123456789;
  static uint32_t y = 362436069;
  static uint32_t z = 521288629;
  static uint32_t w = 88675123; 
  uint32_t t;
 
  t = x ^ (x << 11);
  x = y; y = z; z = w;
  return w = (w ^ (w >> 19)) ^ (t ^ (t >> 8)); 
}

このアルゴリズムの周期はそれぞれ$2^{32}-1,2^{64}-1,2^{96}-1,2^{128}-1$ で、Diehardテストをパスしている。

周期の特定

シード値を128bitの二元横ベクトル$\beta$、現在の状態から次状態への二元遷移行列を$T$と置くと、Xorshiftアルゴリズムにより生成される乱数列は$\beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots$と表される。詳しい証明は省略するが、行列$T$のOrderが$k=2^{n}-1$で表される時、かつその時に限り、任意の0でない$\beta$に対し$\beta ,\beta T,\beta T^{2},\dots ,\beta T^{k-1}$は全て異なる値となる。

予備的なテストとしては、今周期$k$について$k=2^{n}-1$となることを期待しているため、期待する$n$が$T^{2^{n}}=T$を満たす最小の$n$であるかを調べる、というものがある。これは$T$を$n$回二乗すれば良いため、乱数列を調べるのと比較すると十分に速く調べられる。

参考文献

• Marsaglia (July 2003). “Xorshift RNGs”. Journal of Statistical Software Vol. 8 (Issue  14). http://www.jstatsoft.org/v08/i14/paper.