推移的集合

集合論(必ずしもZFCではない一般の集合論)において、集合 Aが推移的であるとは、

x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
x ∈ Aかつxがurelement (基本元素)でないならxはAの部分集合である。

ということ。同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。

例

ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される

すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。

フォン・ノイマン宇宙 Vや構成可能宇宙 L の構成の際に現れる V_α や L_αといった全ての階層も推移的集合である。宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。

性質

集合 X が推移的であることは $\bigcup X\subseteq X$ であることと同値である。ここで $\bigcup X$ は、Xの全ての要素(のうち集合であるもの)の和、すなわち $\bigcup X=\{y|(\exists x\in X)y\in x\}$ のことである。 X が推移的であるなら、 $\bigcup X$ も推移的である。 X と Y が推移的なら、X∪Y∪{X,Y}も推移的である。一般的に、Xが全ての要素が推移的集合であるクラスならば、 $X\cup \bigcup X$ も推移的である。