積閉集合

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抽象代数学における積閉集合(せきへいしゅうごう、: multiplicatively closed set)あるいは乗法的集合(じょうほうてきしゅうごう、: multiplicative set)は、(有限)積に関して閉じている集合を言う[1]

積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。

定義[編集]

単位的環 R の部分集合 S積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件

  • 1 ∈ S,
  • x, ySxyS

を満たすときに言う[2][3]。別な言葉で言えば、積閉集合 S は環 R の乗法モノイドの部分モノイド英語版である。空積1 に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「S は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。

同様に、環 R の部分集合 S飽和 (saturated) であるとは、それが「因子英語版をとる操作に関して閉じている」(zS, z = xyx, yS) ときに言う。

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よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる:

性質[編集]

  • 可換環 R のイデアル P が素イデアルであるための必要十分条件は、補集合 RP が積閉であることである。
  • 部分集合 S が積閉かつ飽和となる必要十分条件は、それが素イデアルの合併の補集合となることである[4]。特に素イデアルの補集合は積閉かつ飽和である。
  • 積閉集合からなる族の交わりはまた積閉である。
  • 飽和集合からなる族の交わりはまた飽和である。

関連項目[編集]

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  1. ^ Eisenbud, p. 59.
  2. ^ Atiyah and Macdonald, p. 36.
  3. ^ Lang, p. 107.
  4. ^ Kaplansky, p. 2, Theorem 2.

参考文献[編集]