ホモロジカルミラー対称性予想

ホモロジカルミラー対称性は、マキシム・コンツェビッチにより予想された数学的な予想です．物理学者の弦理論を研究することにより最初に観察されたミラー対称性 (弦理論)と呼ばれる現象の数学的系統的な説明を求めています．

本記事は、Homological Mirror Symmetry 22:32, 18 April 2012‎ から訳しましたが、さらに追加分を日本語化しました．

歴史

チューリッヒでの1994年の国際数学者会議(International Congress of Mathematicians)の報告で、コンツェビッチはカラビ-ヤウ多様体のペア X と Y のミラー対称性が、代数多様体 X から構成された三角圏(triangulated category) (X 上の連接層(coherent sheaf)の導来圏(derived category)ともう一つの Y のシンプレクティック多様体から構成される三角圏(導出された深谷圏(Fukaya category)の同値性として説明されるのではないかという予想のことを言います.

エドワード・ウィッテンは、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストして、位相的弦理論(topological string theory)のAモデルとBモデルと呼ばれるものとして記述しました．これらのモデルは、リーマン面から固定された対象空間-普通はカラビ-ヤウ多様体への写像と考えられます．数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルY と X 上のB-モデルの物理的な同値関係へ埋め込まれます．リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表します．開いた弦を再現するためには、超対称性を保存する境界条件を導入する必要があります．A-モデルでは、これらの境界条件はある付加された構造（ブレーン構造と言います）を持った Y ラグランラジアン部分多様体(Lagrangian submanifold)という形式から導出されます．B-モデルでは、境界条件は X の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体の形式から導出されます．これらは、適当な圏を作るときに使う対象です．これらのことをそれぞれAブレーンやBブレーンということもあります．圏のモルフィズム(morphism)は2つのブレーンの間に張られた開弦の無質量なスペクトルにより与えられます．

A-モデルとB-モデルの閉弦は、単にいわゆるトポロジカルセクター - 全弦理論の小さい一部としてとらえられます．同様に、これらのモデルのブレーンは、単にD-ブレーンD-braneたちの全力学的対象の位相的な近似です．そうだとしても、弦理論のこの小さな部分から出てくる数学的な結果することは深く、また難しい問題です．

例

この予想を数学者が評価することのできる例は、少数ですがあります．コンツェビッチが、セミナーで指摘したように、予想は楕円曲線の場合にはテータ函数を使い証明できるのではないでしょうか．この導きに従い、アレクサンダー・ポリスチュック(Alexander Polishchuk) と エリック・ザスロフ(Eric Zaslow)は楕円曲線についての予想のバージョンの証明をしました．深谷・賢治(Kenji Fukaya)は、アーベル多様体(abelian variety)についての予想の要素たちを確立するを可能としました．その後、とヤン・ソイベルマン(Yan Soibelman)は、SYZ予想(SYZ conjecture)から来るアイデアを使い、アフィン多様体上の非特異なトーラスバンドル(torus bundle)についての予想の大半を証明しました．2003年に、ポール・ザイデル(Paul Seidel)は二次曲面(quartic surface)の場合の予想を証明しました．Hausel & Thaddeus (2002)は、SYZ予想の素描をHitchin系とLanglands双対性の脈絡で説明しました．

ホッジ(Hodge)ダイアモンド

下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-微分形式の空間の次元 h^p,q を座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となります．p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、

                h2,2
          h2,1          h1,2
    h2,0         h1,1         h0,2
          h1,0          h0,1
                h0,0

となります．

K3曲面(K3 surface)の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができますが、ベッチ数(Betti number)たちが、{1, 0, 22, 0, 1}ですから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになります．

                1
          0          0
     1         22         1
          0          0
                1

ところで、3-次元の場合には、面白いことが起きます．ホッジダイアモンドが対角線（斜め線）を中心として対称なホッジ数を持つペア M and W が存在することがあるのです．

Mのダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          a         0
   1         b          b         1
        0          a         0
             0          0
                   1

Wのダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          b         0
   1         a          a         1
        0          b         0
             0          0
                   1

M と W は弦理論のA-モデルとB-modelに対応しています．ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけではなく、ミラーペアの上のシンプレクティック構造 と 複素構造複素構造を入れ替えます．これがホモロジカルミラー対称性の起源です．

以下も参照

• 位相的場の理論
• 圏論
• フレアーホモロジー
• 深谷圏
• 導来圏

参考文献

• Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018 .
• Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000), Homological Mirror Symmetry and torus fibrations, arXiv:math.SG/0011041 .
• Seidel, Paul (2003), Homological mirror symmetry for the quartic surface, arXiv:math.SG/0310414 .
• 深谷, 賢治 (1999), シンプレクティック幾何学 .
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002), Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system, arXiv:math.DG/0205236 .