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'''冪零行列'''(べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix)とは、[[冪乗]]して零([[零行列]])となる[[正方行列]]のこと。すなわち、ある[[自然数]] ''m'' に対して、 |
'''冪零行列'''(べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix)とは、[[冪乗]]して零([[零行列]])となる[[正方行列]]のこと。すなわち、ある[[自然数]] ''m'' に対して、 |
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: ''M''<sup> ''m''</sup> = ''O'' |
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が成り立つ行列 ''M'' をいう。冪零行列は[[基底]]の与えられた[[ベクトル空間]]に対して'''冪零変換'''を定める。 |
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== 性質 == |
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* 冪零行列の[[固有値]]は0のみである。 |
* 冪零行列の[[固有値]]は 0 のみである。逆に、固有値が全て 0 である行列は冪零行列である。 |
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* 任意の冪零行列は[[正則行列]]でない。 |
* 任意の冪零行列は[[正則行列]]でない。 |
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* ''N'' が冪零行列なら、[[単位行列]] ''I'' に対し (''I''-''N'') は正則行列である。 |
* ''N'' が冪零行列なら、[[単位行列]] ''I'' に対し (''I''-''N'') は正則行列である。 |
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==標準化== |
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となる。標準化の対象になる行列を ''M'' としたとき、ρ<sub>''r''</sub> = rank ''M''<sup> ''r''</sup> - rank ''M''<sup> ''r'' |
となる。標準化の対象になる ''s'' 次行列を ''M'' としたとき、ρ<sub> ''r''</sub> = rank ''M''<sup> ''r''-1</sup> - rank ''M''<sup> ''r''</sup> と置けば、''n''<sub>''i''</sub> = ''p'' なる ''i'' の個数は全部で ρ<sub>''p''</sub> - ρ<sub>''p''+1</sub> 個ある。この ρ<sub>''i''</sub> の値によって作られるべき零行列の標準形は、''n''<sub>''i''</sub> の順番を除いて一意的である。以下、ρ<sub>''i''</sub>の値に基づく(''s''次の)標準形を ''N''[ρ<sub>1</sub>, …, ρ<sub>''s''</sub>] と書く。また、''M'' の次数を ''s'' とすれば、ρ<sub>''i''</sub> の定義から直接に ∑ρ<sub>''i''</sub> = ''s'' となるから、次数 ''s'' における相異なる標準形の個数は、整数 ''s'' を[[整数分割|分割]]する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、 |
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の 5 つである。この標準形は、それぞれ ''N''[1,1,1,1], ''N''[2,1,1,0], ''N''[2,2,0,0], ''N''[3,1,0,0], ''N''[4,0,0,0] である。一般に ''N''[1, ..., 1] = (N<sub>''s''</sub>), ''N''[''s'', 0, ..., 0] = ''O'' が成立する。 |
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''N''<sub>''n''</sub> は、冪乗に関して次のような性質を持つ。 |
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== 参考文献 == |
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* 佐武一郎『線型代数学』[[裳華房]]、1974年 ISBN 978-4785313012、pp. 148 - 150、冪零行列の標準形について |
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== 外部リンク == |
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* {{MathWorld|urlname=NilpotentMatrix|title=Nilpotent Matrix}} |
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{{DEFAULTSORT:へきれいきようれつ}} |
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[[da:Nilpotent matrix]] |
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[[de:Nilpotente Matrix]] |
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[[en:Nilpotent matrix]] |
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[[es:Matriz nilpotente]] |
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[[fr:Matrice nilpotente]] |
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[[he:מטריצה נילפוטנטית]] |
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[[pl:Macierz nilpotentna]] |
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2010年11月27日 (土) 16:34時点における版
冪零行列(べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix)とは、冪乗して零(零行列)となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、
- M m = O
が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。
性質
標準化
と置いたとき、冪零行列の標準形は、上の行列の幾つかの直和
となる。標準化の対象になる s 次行列を M としたとき、ρ r = rank M r-1 - rank M r と置けば、ni = p なる i の個数は全部で ρp - ρp+1 個ある。この ρi の値によって作られるべき零行列の標準形は、ni の順番を除いて一意的である。以下、ρiの値に基づく(s次の)標準形を N[ρ1, …, ρs] と書く。また、M の次数を s とすれば、ρi の定義から直接に ∑ρi = s となるから、次数 s における相異なる標準形の個数は、整数 s を分割する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、
の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1], N[2,1,1,0], N[2,2,0,0], N[3,1,0,0], N[4,0,0,0] である。一般に N[1, ..., 1] = (Ns), N[s, 0, ..., 0] = O が成立する。
Nn は、冪乗に関して次のような性質を持つ。
参考文献
- 佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年 ISBN 978-4785313012、pp. 148 - 150、冪零行列の標準形について
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Nilpotent Matrix". mathworld.wolfram.com (英語).