ルジンの問題

ルジンの問題（Luzin - のもんだい）とは、正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である。

「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、その後幾つかの例が発見された。

最小の解

21個の正方形に分割

最小の解は21個で、A.J.W.Duijvestijnがコンピュータを使って発見し、それが最小の解であることを証明した。1辺112の正方形を、一辺の長さがそれぞれ2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50の計21枚の正方形で、隙間なく埋めつくすことが出来る。

正方形を上辺から順番に敷き詰めて置く様子を加味して下記のように書き表すことができる。

[50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]

面積から見た検算

$2^{2}+4^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+11^{2}+15^{2}+16^{2}+17^{2}+18^{2}+19^{2}+24^{2}+25^{2}+27^{2}+29^{2}+33^{2}+35^{2}+37^{2}+42^{2}+50^{2}=12544=112^{2}$

立方体を立方体に分割すること

任意の立方体を全て異なる大きさの立方体で分けることは不可能で、これは比較的簡単に説明することが出来る。

まず、ある立方体の底面に上記のようなルジンの問題の解を描き、それぞれの正方形の大きさで立方体を作る。この中で最も小さい立方体は、隣接しているどの立方体よりも高さが低いので、その上には正方角柱状のくぼみが出来る。そのくぼみには、くぼみより大きい立方体を入れることは出来ない。また、くぼみの底と等しい大きさの立方体を使うことも出来ない。このくぼみより小さい立方体を使うことが考えられるが、くぼみの底には全て異なる大きさの立方体を使わなければならず、この問題が無限に繰り返されることとなる。

したがって、立方体を有限個の異なった大きさの立方体として分割することはできない。

関連項目

• 平面充填

外部リンク

• Perfect squared squares:
  • http://www.squaring.net
  • http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_01_03.html
  • http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
  • http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/98/square_dissect
  • http://www.stat.ualberta.ca/people/schmu/preprints/sq.pdf
• Nowhere-neat squared squares:
  • http://karl.kiwi.gen.nz/prosqtre.html
  • http://karl.kiwi.gen.nz/prosqtsq.html