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2008年1月7日 (月) 14:48時点における版
冪零行列(べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix)とは、冪乗して零(零行列)となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、
- M m = O
が成り立つものをいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。
性質
標準化
と置いたとき、冪零行列の標準形は、上の行列の幾つかの直和
となる。標準化の対象になる行列を M としたとき、ρr = rank M r - rank M r-1 と置けば、ni = p なる i の個数は全部で ρp - ρp+1 個ある。この ρi の値によって作られるべき零行列の標準形は、ni の順番を除いて一意的である。以下、ρiの値に基づく(s次の)標準形を N[ρ1, …, ρs] と書く。また、M の次数を s とすれば、ρi の定義から直接に、∑ρi = s となるから、次数 s に置ける相異なる標準形の個数は Fs+1 である。ここに F はフィボナッチ数列を指す。例えば、次数 4 に於ける標準形は、
の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1], N[2,1,1,0], N[2,2,0,0], N[3,1,0,0], N[4,0,0,0] である。一般に N[1, ..., 1] = (Ns), N[s, 0, ..., 0] = O が成立する。
Nn は、冪乗に関して次のような性質を持つ。