米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -) : C → Set から集合値関手 F : C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。 名称は米田信夫に因む。

概要

Cを局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわちCの各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、共変hom関手 h_A = hom(A, -) : C → Set は対象Xに対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f∘- : hom(A, X) → hom(A, Y)を割り当てる関手であった。

さらに、 F : C → Set を集合値関手とし、h_A から F へのすべての自然変換のクラス Nat(h_A, F) について考える。

このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射

y:Nat(h_A, F) ≅ F(A)

が存在するというのが米田の補題である。

証明

θをCの各対象XにSetの射 θ_X: hom(A, X) → F(X)を割り当てる関数とするとき、θが自然変換であるというのは、Cの任意の射 f : X → Y に対して

θ_Y∘hom(A, f) = F(f)∘θ_X

が成り立つことであった。これはSetの射 hom(A, X) → F(Y) の等式なので、言い換えると任意のhom(A, X)の元 g : A → X において等しい値

(θ_Y∘hom(A, f))(g) = (F(f)∘θ_X)(g)

を持つこととなる。hom関手の定義より、結局θが自然変換であるための必要十分条件は、任意の射 f : X → Y と g : A → X に対して、

θ_Y(f∘g) = F(f)(θ_X(g))

が成り立つことである。特に、θが自然変換であるときに g = id_A を選ぶと、任意の射 f : A → Y に対して、

θ_Y(f) = F(f)(θ_A(id_A))

であることが分かる。

米田写像yを自然変換θに対して

y(θ) = θ_A(id_A)

で定める。上記のことから、任意の自然変換θと任意の射 f : A → Y に対して、

θ_Y(f) = F(f)(θ_A(id_A)) = F(f)(y(θ))

であり、yは単射である。

全射であることをいうには、任意の a∈F(A) に対して、y(θ) = a となる自然変換θを構成すればよい。θが自然変換であるためには任意の射 f : A → Y に対して、

θ_Y(f) = F(f)(y(θ))

が必要であり、これと y(θ) = a によりθのコンポーネントは

θ_Y(f) = F(f)(a)

によってすべて決定される。このθが自然変換であることを示す。任意の射 f : X → Y と g : A → X に対して、

θ_Y(f∘g)

=F(f∘g)(a)

=F(f)(F(g)(a))

=F(f)(θ_X(g))

となり、自然変換であるための上記の十分条件を満たす。最後に

y(θ) = θ_A(id_A) = F(id_A)(a) = a

となり、y(θ) = a であることが分かる。

圏の完備化

C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 Set^C への関手h_(-) : C^op → Set^C

（対象関数） h_A = hom(A, -)　共変hom関手

（射関数）　 h_f^op:B→A = hom(A, -) ${\dot {\rightarrow }}$ hom(B, -)　共変hom関手間の自然変換

をグロタンディーク関手（Grothendieck functor）hと呼ぶ。

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y:Nat(h_A, h_B) ≅ h_B(A) ＝ hom_C(B, A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(h_A, h_B) = hom_Set^C(h_A, h_B)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と Set^C のhom集合との間に全単射

hom_C(B, A) ≅ hom_Set^C(h_A, h_B)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実である。

参考文献

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• 河田敬義『ホモロジー代数I,II』岩波書店、1977年。 
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• Riehl, Emily. “Category Theory in Context”. 2021年4月23日閲覧。

関連項目

• 図式スキーム
• ホモロジー代数
• アーベル圏