「米田の補題」の版間の差分

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2021年4月3日 (土) 12:19時点における版

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -) : C → Set から集合値関手 F : C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。

概要

局所的に小さい（locally small）圏を C とする、すなわち各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象Aを固定するとき、C の各対象 B に対して集合（Set の対象）hom(A,B) を割り当てる関数は、C から Set への関手の対象関数として考えることができる。この関手は大抵 h_A = hom(A, -) : C → Set と表記され、共変hom関手（covariant hom functor）と呼ばれる。

ここで、 F : C → Set を任意の集合値関手とし、h_A から F へのすべての自然変換 θ : h_A ${\dot {\rightarrow }}$ F のクラス^[1] Nat(h_A, F) ^[2]について考える。

米田の補題の骨子は、射 h_A(f) = hom(A, f) : hom(A, A) → hom(A, B) の恒等射 1_A に対する特性

hom(A, f)1_A ＝ f

である^[3]。

θ は自然変換であるので、対象 A において自然である。すなわち、各対象 B への各射 f : A → B すべてに対して、自然性条件

θ_B・h_A(f) = F(f)・θ_A

が成り立つ。両辺を 1_A に作用させると、

（左辺）= (θ_B・h_A(f))1_A = θ_B(h_A(f)1_A) = θ_B(f)

（右辺）= (F(f)・θ_A)1_A = F(f)θ_A(1_A)

となる。したがって、各対象Bについて、

θ_B(f) = F(f)θ_A(1_A)

となる。これは、任意の（C の射かつ Set の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = h_A(B) に対して成り立つ。つまり θ_A(1_A) は各コンポーネント θ_B : h_A(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θ_A(1_A) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる（Nat(h_A, F) ⊇ F(A)）。また明らかに、θ ∈ Nat(h_A, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θ_A の恒等射 1_A における値 θ_A(1_A) ∈ F(A) を定める（Nat(h_A, F) ⊆ F(A)）。

すなわち、全単射

y:Nat(h_A, F) ≅ F(A)

が存在する。この y は米田写像（Yoneda map）と呼ばれる。

圏の完備化

C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 Set^C への関手h_(-) : C^op → Set^C

（対象関数） h_A = hom(A, -)　共変hom関手

（射関数）　 h_f^op:B→A = hom(A, -)

{\dot {\rightarrow }}

hom(B, -)　共変hom関手間の自然変換

をグロタンディーク関手（Grothendieck functor）hと呼ぶ^[4]。

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y:Nat(h_A, h_B) ≅ h_B(A) ＝ hom_C(B, A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(h_A, h_B) = hom_Set^C(h_A, h_B)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と Set^C のhom集合との間に全単射

hom_C(B, A) ≅ hom_Set^C(h_A, h_B)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実である。

脚注

[脚注の使い方]

^ これはゲーデル-ベルナイス集合論の意味でのクラスである(MacLane 1965, p. 43)。
^ 逆向きの Nat(F, h_A) に関する定理は余米田の補題と呼ばれる(MacLane 1998)。
^ 大熊(1979) p.136
^ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor　ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。

@@ 19行目: / 19行目: @@
 となる。したがって、各対象Bについて、
 :θ<sub>B</sub>(f) = F(f)θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>)
-となる。これは、任意の（'''C''' の射かつ '''Set''' の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = h<sub>A</sub>(B) に対して成り立つ。つまり θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) は 各コンポーネント θ<sub>B</sub> : h<sub>A</sub>(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる。また明らかに、θ ∈ Nat(h<sub>A</sub>, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θ<sub>A</sub> の恒等射 1<sub>A</sub> における値 θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) ∈ F(A) を定める。
+となる。これは、任意の（'''C''' の射かつ '''Set''' の対象の要素である） f ∈ hom(A, B) = h<sub>A</sub>(B) に対して成り立つ。つまり θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) は 各コンポーネント θ<sub>B</sub> : h<sub>A</sub>(B) → F(B) を定め、自然変換 θ は要素 θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) ∈ F(A) から完全に決定されることがわかる（Nat(h<sub>A</sub>, F) ⊇ F(A)）。また明らかに、θ ∈ Nat(h<sub>A</sub>, F) は、対象 A における自然変換のコンポーネント θ<sub>A</sub> の恒等射 1<sub>A</sub> における値 θ<sub>A</sub>(1<sub>A</sub>) ∈ F(A) を定める（Nat(h<sub>A</sub>, F) ⊆ F(A)）。
 すなわち、全単射

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概要

圏の完備化

脚注

参考文献

関連項目