普遍係数定理

代数トポロジーにおいて、普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）はホモロジー論とコホモロジー論の間の関係を確立する。例えば、位相空間 X の整係数ホモロジー論と、任意のアーベル群 A に係数をもつホモロジーは以下のように関連する。整係数ホモロジー群 H_i(X; Z) は群 H_i(X; A) を完全に決定する。ここで H_i は単体的ホモロジーあるいはより一般の特異ホモロジー論でもよい： 結果自体は自由アーベル群のチェイン複体についてのホモロジー代数の純粋な成果である。結果の形は、Tor関手を使うという代償を払って、他の係数 A を使うことができる形である。

例えば A を Z/2Z に取って係数が modulo 2 であるようにすることは一般的である。これはホモロジーに 2-捩れがないことによって straightforward になる。極めて一般的に、結果は X のベッチ数 b_i と体 F に係数をもつベッチ数 b_i,F の間に成り立つ関係を示す。これらは異なるかもしれないが、F の標数がホモロジーに p-捩れがある素数 p であるときのみである。

ホモロジーの場合のステートメント

加群のテンソル積 H_i(X; Z) ⊗ A を考えよう。定理は短完全列

$0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A{\overset {\mu }{\to }}H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0$

が存在すると述べている。さらに、この列は、自然にではないが、分裂する。ここで μ は双線型写像 H_i(X; Z) × A → H_i(X; A) によって誘導される写像である。

係数環 A が Z/pZ であれば、これはボックシュテイン・スペクトル系列の特別な場合である。

一般に、R を単項イデアル整域とする。L_• を R 加群の鎖複体、M を R 加群とし、任意の i ∈ Z に対して L_i が捩れなし加群であるとする。このとき、任意の i ∈ Z に対して次の完全列が存在する：

$0\to H_{i}(L_{\bullet })\otimes _{R}M\to H_{i}(L_{\bullet }\otimes _{R}M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(H_{i-1}(L_{\bullet }),M)\to 0.$

さらに、任意の i ∈ Z に対して L_i が自由加群ならばこの完全列は分裂する。

M が平坦加群であれば、Tor の項は現れないことに注意。

コホモロジーに対する普遍係数定理

G を主イデアル整域 R（例えば Z や体）上の加群とする。

Ext関手に関係するコホモロジーに対する普遍係数定理もある。これは自然な短完全列

$0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G){\overset {h}{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0$

が存在することを述べている。ホモロジーの場合のように、列は自然にではないが分裂する。

実際、

$H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G$

とし、次のように定義する：

$H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).$

このとき上の h はカノニカルな写像

$h([f])([x])=f(x).$

である。代替的な視点はアイレンバーグ・マックレーン空間を経由してコホモロジーを表現することに基づくことができる。ここで写像 h は X から K(G, i) への写像のホモトピー類をホモロジーに誘導される対応する写像に写す。したがって、アイレンバーグ・マックレーン空間はホモロジー関手の弱右随伴 (weak right adjoint) である。

例： 実射影空間の mod 2 コホモロジー

X = Pⁿ(R) を実射影空間としよう。R = Z/2Z に係数をもつ X の特異コホモロジーを計算する。

整数ホモロジーは以下で与えられることを知っている：

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}$

Ext(R, R) = R, Ext(Z, R) = 0 なので上の完全列は

$\forall i=0,\cdots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R$

を生む。実は全コホモロジー環構造は

$H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .$

系

定理の特別な場合は整数コホモロジーを計算する。有限 CW 複体 X に対して、H_i(X; Z) は有限生成であり、したがって以下の分解がある。

$H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},$

ただし β_i(X) は X のベッチ数で $T_{i}$ は $H_{i}$ の捩れ部分である。次をチェックできる。

$\operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},$

および

$\operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.$

これは整数コホモロジーに対する以下のステートメントを与える：

$H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.$

向き付け可能な閉連結 n-多様体 X に対して、この系はポアンカレ双対と合わせて β_i(X) = β_n−i(X) を与える。

関連項目

• キュネットの定理

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
• Kainen, P. C. (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122: 1–9. doi:10.1007/bf01113560. 
• 志甫, 淳『層とホモロジー代数』共立出版株式会社〈共立講座 数学の魅力5〉、2016年。ISBN 978-4-320-11160-8。 

外部リンク

• http://math.stackexchange.com/questions/767864/universal-coefficient-theorem-with-ring-coefficients/768481#768481