数論的関数(すうろんてきかんすう、英: arithmetic(al) function)とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。
複素数の無限数列
は
という対応で、数論的関数とみなすことができる。
素因数分解に関連する関数
正整数 n に対して
と素因数分解する。
この項では、
が
によって得られる数論的関数について述べる。
加法的関数
互いに素である正整数 m と n に対して、
が成立するとき、加法的関数 (additive function)という。
つまり、
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、
が成立するとき、完全加法的関数 (completely additive function)という。つまり、完全加法的関数とは
が成立する数論的関数である。
例
- 対数関数:
![{\displaystyle \log n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317ab5292da7c7935aec01a570461fe0613b21d5)
- n の相異なる素因数の個数を表す
![{\displaystyle \omega (n)=\#\{p|\nu _{p}(n)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee5e005f41a621583a88a223be9335120c06fc3)
- n の重複度を数えた素因数の個数を表す
![{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p;\operatorname {prime} }\nu _{p}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911ad1d567dba9128e9897134b24cf0d17940f00)
- 素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、
![{\displaystyle \nu _{p}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a740c63898dac75666e43736eb3ae87eb8c62b16)
乗法的関数
互いに素である正整数 m と n に対して、
が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。
つまり、
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、
が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
が成立する数論的関数である。
例
- 任意の整数 k に対する
![{\displaystyle n^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53af70c07e0932d85d2fdb70c56360544c3a0b5a)
- 指数関数: 任意の正数 C に対する
![{\displaystyle C^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cc4309121472bbd901a7e54c365829cd150d82)
- メビウス関数:
![{\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&(n=1)\\(-1)^{r}&(n=p_{1}\cdots p_{r})\\0&({\mbox{otherwise}})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c1d07fcb546e63e8a952cf7f9fc81d2ad06201)
- 約数関数: n の約数の個数を表す
![{\displaystyle d(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9244054f2ac87cf2ee0fa2b9bddae4c6f6a520)
- k乗約数和関数:
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n,\ d>0}\!\!\!\!d^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcbd5760c17fa3dc1460fb37b8a311f7a6df6c0)
- n の正の奇数の約数の個数を表す
![{\displaystyle \tau _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6eb478a030680eaf96c7187c1ca56048214c19)
- n の正の奇数の約数の和を表す
![{\displaystyle \sigma _{o}(n)=\sum _{2\nmid d|n,\ d>0}\!\!\!\!\!d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90f1344ab6158ffd5a6fdc5e17e12888b9fa2ad)
- オイラー関数:
![{\displaystyle \varphi (n)=\#\{k|k\geq 1,\ (k,n)=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88841395a88c653486b51e462b40312c0ff2b842)
- ディリクレ指標:
![{\displaystyle \chi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa413eb1fe727a3cb26bc973782db520ad9d5761)
- リウヴィルのラムダ関数:
![{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad47c0906223bcd37f0345153730aac7e28d5fa)
- ラマヌジャンの和関数:
- ラマヌジャンの τ 関数:
は、
の n 次の係数
- 任意の正整数 k に対する、
![{\displaystyle k^{\omega (n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584ff6d394ce7d5b9c906ecfb30e135fed5d2ac4)
q進展開に関連する関数
q を 2以上の正整数とする。
このとき、任意の正整数 n に対して
と q 進展開する。
この項では、
が
によって得られる数論的関数について述べる。
q加法的関数
を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。
特に、q加法的関数
が
を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。
例
- sum of digits 関数
![{\displaystyle \textstyle s_{q}(n)=\sum _{j\geq 0}b_{j}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f827ca5db69a01f0b36cb9b11ade04a0a24e5a4)
- digit counting 関数
但し、b は
のいずれか。
q乗法的関数
を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。
特に、q乗法的関数
が
を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。
例
- トゥエ=モース数列
![{\displaystyle a(n)=(-1)^{e_{2}(1;n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2abad680485ff270eb37fd4b46f54ee2b96ef8)
- product of digits 関数
![{\displaystyle \textstyle p_{q}(n)=\prod _{j=0}^{r}b_{j}(n)\ \ \ \ \ (b_{r}(n)\neq 0,\ b_{j}(n)=0\ (j>r))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78019097eb5394af1ae6f27b544d7381c657542e)
その他の数論的関数
(1) 素数に関係する関数
- n 以下の素数の個数を与える
![{\displaystyle \pi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b)
- フォン・マンゴルト関数:
![{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&(n=p^{m},\ m\geq 1,\ p;\operatorname {prime} )\\0&(n\neq p^{m})\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091ed573367a38a1661b0ae2b3538874f100d606)
![{\displaystyle \textstyle \vartheta (n)=\sum _{p\leq n,\ p;\operatorname {prime} }\log p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc3d40d2be6083487c09e3b7774512820693624)
![{\displaystyle \textstyle \psi (n)=\sum _{p^{m}\leq n,\ p;\operatorname {prime} }\log p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52483e84e89e882e96e0ead377f4ece726fd9636)
(2) 数の表現・分割
- n を2つの平方数の和で表す表し方の数を与える
![{\displaystyle r_{2}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4aa6447f86611b543da949595ce72f6f27ee86)
- n を正整数の和で表す表し方の数を与える
![{\displaystyle p(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7d5ae3aa9524f57fb8b44ac46ee8cf6a52d7e6)
- ウェアリングの問題
- 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値
![{\displaystyle g(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b991fb29325fbaa24480e075e54871f5128a62)
- 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値
![{\displaystyle G(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20acfc42dc2f43a15c5879d306eb2b00875afeae)
性質
代数的性質
数論的関数
に対して、ディリクレ積
を
と定めると、
は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。
乗法的関数
に対して、ディリクレ積
で得られた数論的関数は乗法的関数となる。
数論的関数
が、ある正数 C と、数論的関数
が存在して、
と表されるとする。すると、
が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、
は(完全)加法的関数である。
位数
(1) 最大位数
数論的関数
に対して、ある単純な形をした n の関数
が存在して
が成立するとき、
の最大位数は
であるという。
(2) 平均位数
数論的関数
に対して、ある単純な形をした n の関数
が存在して
が成立するとき、
の平均位数は
であるという。
従って、
は、だいたい
であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、
がほぼ
である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。
(3) 正規位数
任意の正数 ϵ とほとんど全て[1]の正整数 n に対して
が成立するとき、
の正規位数は
であるという。
平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。
例
(1) 約数関数
最大位数は、
であり、平均位数は
である。
さらに
の正規位数は
である。
従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して
が成立する。
つまり、ほとんど全ての正整数に対して、
の値は、平均位数よりも小さい。
(2) 約数和関数
最大位数は
であり、平均位数は
である。
(3) オイラー関数
最大位数は
であり、平均位数は
である。
(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数
平均位数および正規位数は共に
である.
(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数
平均位数および正規位数は共に
である.
(6) 素数の個数を表す
正規位数は、
である。
注釈
- ^ 条件を満たさない n 以下の正整数の個数を n で割った値が 0 に収束するという意味。
参考文献
- ハーディ, G.H.、ライト, E.M. 著、示野 信一・矢神 毅 訳『数論入門 I, II』シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2001年。
- Tattersall, J. J. 著、小松 尚夫 訳『初等整数論9章 [第2版]』森北出版、東京、2008年。
- H. Delange (1972). “Sur les fonctions q-additive ou q-multiplicatives”. Acta. Arith. (21): 285-298.
関連項目